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多自由度系统振动 • 教学内容 • 教学内容 • 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统 • 有阻尼的多自由度系统 1 多自由度系统振动/ 频率方程的零根和重根情形 • 频率方程的零根和重根情形 k k 回顾： m1 1 m2 2 m3 （1）两个例子 系统存在刚体运动，此时柔度矩 k 阵F 不存在，刚度矩阵奇异。 θ （2 ）多自由度系统的自由振动 I I 2 1 K ≥0 刚度矩阵半正定， ，系统为半正定系统，此时存在 f ( t ) = a t + b 的刚体模态。 即本节将讨论的零固有频率的情形 2 多自由度系统振动/ 频率方程的零根和重根情形 n 对于n 自由度系统： MX KX =+0 X ∈R 广义特征值问题： 2 K ( =−M )0 ω φ φ K=− M ω2 0 有非零解的充要条件： 若ω 0 必有： K 0 K 为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条 结论：K 为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条 件时系统的刚度矩阵K 是半正定的 。 件时系统的刚度矩阵K 是半正定的 。 ω 0 K 0 φ 说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此 不产生弹性恢复力。 3 多自由度系统振动/ 频率方程的零根和重根情形 假定系统中ω 0 1