振动力学5多自由度系统振动b技朮方案.ppt

第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 四自由度系统 一个节点 两个节点 三个节点 节点位置 无节点 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态的正交性，主质量和主刚度 设 、 对应的模态分别为 、 两式相减： 转置右乘 左乘 若 时， 模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性 均满足： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 当 i＝j 时，表达式恒成立 令： 第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度 第 i 阶主模态 模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性 当 i＝j 时 主质量 主刚度 当 时 利用 Kronecker 符号，可综合写为： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 第 i 阶固有频率： 主模态： 第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度 第 i 阶主模态 多自由度系统： 另一种模态：正则模态 定义：使全部主质量皆为1的主模态 令： 正则模态和主模态之间的关系： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 相对于 的主刚度： 正则模态的正交性条件： 主模态的正交性条件： 第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度 第 i 阶主模态 主模态： 主质量为1 主刚度为固有频率的平方 第 i 阶正则模态 正则模态： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统： 主模态 将 组成矩阵 模态矩阵 主质量矩阵 主刚度矩阵 正交性条件： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 推导： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统： 正则模态 将 组成矩阵 正则模态矩阵 单位矩阵 谱矩阵 正交性条件： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统： 特征值问题： 依次取 ，得到的 n 个方程，可合写为： 主模态正交性条件： 左乘 ： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 例：三自由度系统 模态矩阵： 主质量矩阵： 主刚度矩阵： 非对角线顶等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的 谱矩阵： 2k m m m k 2k k x1 x2 x3 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态矩阵： 主质量矩阵： 主刚度矩阵： 谱矩阵： 正则模态和主模态之间的关系： 正则模态矩阵： 不难验证，有： 2k m m m k 2k k x1 x2 x3 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 模态 相互正交 表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基 系统的任意n维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合 即系统的振动为n阶主振动的叠加 模态叠加法 物理坐标 主模态坐标 模态矩阵 坐标关系： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 另一种模态坐标：正则模态坐标 物理坐标 正则模态坐标 系统响应： 正则模态矩阵 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 小结： 多自由度系统： 可采用两类模态坐标进行描述 主模态坐标 正则模态坐标 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 求解无阻尼系统对初始条件的响应 可分别采用两类模态坐标进行求解 首先采用主模态坐标 自由振动方程： 坐标变换： ：主模态坐标 ：主模态矩阵 代入，并左乘 ： 模态坐标初始条件： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 自由振动方程： 坐标变换： 展开模态坐标动力学方程： 求得： 在求得 后，可利用 式求得原系统的解 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 求解无阻尼系统对初始条件的响应 采用正则模态坐标 自由振动方程： 坐标变换： ：正则模态坐标 ：正则模态矩阵 代入，并左乘 ： 模态坐标初始条件： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 自由振动方程： 坐标变换： 展开模态坐标动力学方程： 求得： 在求得 后，可利用 式求得原系统的解 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 * 多自由度系统振动 主讲：殷玉枫 教授 太原科技大学 机械电子工程学院 2007-9-9 教学内容 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 固有频率 模态 模态的正交性 主质量和主刚度 模态叠加法 模态截断法 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统的固有频率 作用力