新不定积分与定积分.PPT

导数与微分 例 1 例9 例10 求多项式 f (x) 使它满足方程 例16 求抛物线 例17 设非负函数 又 例18 求由 解 例8 解: 令 则 代入原方程得 两边求导: 可见 f (x) 应为二次多项式, 设 代入① 式比较同次幂系数, 得 故 ① 再求导: 例11 例12 例13 证明柯西不等式 例14 证 作辅助函数 例15 在(0,1) 内的一条切线, 使它 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 且为最小点. 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 曲线 与直线 及坐标轴所围 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解:(1) 由方程得 图形面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . 故所求旋转体体积为 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 * 一、 本章的主要内容 二、 典型例题 不定积分与定积分习题课 (二) 第四章 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 一、定积分主要内容 1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） 实例2 （求变速直线运动的路程） 方法:分割、近似求和、取极限. 2、定积分的定义 定义 记为 可积的两个充分条件： 定理1 定理2 3、存在定理 4、定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质5 性质4 推论： （1） （2） 性质7 (定积分中值定理) 性质6 积分中值公式 5、牛顿—莱布尼茨公式 定理1 定理2（原函数存在定理） 定理 3（微积分基本公式） 也可写成 牛顿—莱布尼茨公式 6、定积分的计算法 换元公式 （1）换元法 （2）分部积分法 分部积分公式 ７、广义积分 (1)无穷限的广义积分 (2)无界函数的广义积分 微 元 法 所求量 的特点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 8、定积分的应用 （2） 就是说，如果把区间 分成许多部分区间， 对于区间 具有可加性， 相应地分成许多部分量， 则 等于所有部分量之和； 而 （1） 是与某个变量 的变化区间 有关的量； 微元法的一般步骤： 这个方法通常叫做微元法． 设想把区间 分成 个小区间， 并记为 ， 求出相应于这小区间的部分量 近似值. 若 可近似地表示为 上的一个连续函数在 处的值 与 的乘积， 把 称为量 且记作 ， 即 ； 2） 取其中任一小区间 的 的微元 定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 直角坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 (2) 体积 x y o 平行截面面积为已知的立体的体积 (3) 平面曲线的弧长 弧长 A．曲线弧为 弧长 B．曲线弧为 C．曲线弧为 弧长 (4) 细棒的质量 (5) 变力所作的功 (6) 水压力 (7) 引力 求极限 解： 原式 例2 求极限 提示： 原式 左边 = 右边 二、典型例题 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 * *