考研数学 线性代数3-3.ppt

证明： 必要性， 若 零向量， ，则 都是 因为 可由向量组 线性表示, 所以也有 ，因而 ，要证的等式成立。 现设 ，因为 （1） 若 ，则 的最大无关组含 有r+1个向量，且这r+1个向量中必含有 ，不妨设最大 无关组为 ，则 线性无关, 中任意一个向量 是向量组 中r+1个向量，必定线性相关， 因此， 且对 根据§2性质（2）， 可由 线性表示，即向量 组 可由向量组 线性表示， 又 可由 线性表示，故 可由 线性表示， 于是 线性相关，与假设矛盾。 因此等式 不成立， 由（1）式可知有 故 充分性， 设 ，若 ，则 都是零向量，故有 可由向量组 线性表示。 即 ，不妨设 若 是 的最大无关组， 因为 ，而 是 中的 r+1个向量，必线性相关， §2性质（2）， 又 线性无关， 根据 可由向量组 线性表示。 设 于是 可由向量组 线性表示。 故 证毕。 证明： 必要性， 设 可由 线性表示， 则 可由 线性表示， 由定理1， 又 可由 线性表示， 因而可由 线性 表示， 再由定理1，有 于是有 依此类推，得 充分性， 设 若r=0，则 都是0向量， 显然 可由 线性表示。 现设 ，不妨设 是 的最大无关组， 因为 ，故 也是 的最大无关组， 故 可由 线性表示。 因而 可由 线性表示。 证毕。 证明： 首先有 因为向量组 可由 线性表示， 由定理2有 故有 证毕。 证明： 分必要条件是条件(i)、(ii)成立。 就是要证明定义2中的条件(1)、(2)成立的充 必要性： (1)，故成立。 设定义2中的条件(1)、(2)成立，则(i)就是 设 是A中任意向量， r+1个向量， 则 是A中 由定义2的条件(2)， 线性相关， 由§2性质（2）， 可由 线性表示。 也成立，必要性得证。 故条件(ii) 充分性： 设(i)、(ii)成立。则定义2中的(1)成立， 设 是A中任意r+1个向量，由(ii)， 可由 线性表示。 由定理3，有 分性得证。 故 线性相关，即定义2中的条件(2)成立，充 证明： 由 可知存在初等矩阵 ，使 记 ，则P可逆，且PA=B， 由分块矩阵乘法，有 比较等式各列，得 (1) (i) 若 线性相关，则存在 不全为0， 使 (1) (2) 等式两边左乘P，得 ，由(1)式得 (3) 故 线性相关，且(3)与(2)有相同的相关式系数 反之，若 线性相关，则存在 不全为 0，使(3)式成立，两边左乘 ，由(1)式得(2)式，因此 线性相关，且(2)与(3)有相同的相关式系数(4)。 (4) 由(i)可得(ii)，由(i)(ii)可得(iii)。 （证毕） 证明： 先考虑行初等变换情形。 设 其中 是A的列向量组。并且 设A的列秩 （r=0情形结论显然成立 ）。 则 中有r个列向量 是它的最大无关组。 由引理， 是B的列向量组 的最大无关组。 因此，B的列秩 ，故A的列秩=B的列秩。 再设 ，其中 是A的行向量组，且 存在初等矩阵 使 ，设 则PA=B，P可逆。设 则有 由分块矩阵乘法，得 这表示B的行向量组 可由A的行向量组 线性表示。 再由 B的行向量组线性表示。 同理可证A的行向量组可由 向量组等价， 因此，A的行向量组与B的行 故有 即A的行秩=B的行秩。 不变。 以上证明了当经行初等变换后，A的行秩和列秩都 现设 ，则 由已证的部分，得 的行秩= 的行秩 的列秩= 的列秩 因而有 的行秩= 的行秩 的列秩= 的列秩 证毕。 证明： 若A=0，结论显然成立。 若 ，设R(A)=r。 由第二章§3定理1，A经过初等变换可化为标准形 即 第r行 第r列 必含有零行，因而必线性相关， 容易看出，标准形B的前r行线性无关，而任意r+1行 矩阵B的秩也是r， 故知B的行秩=r，同理可 知B的列秩=r， 不变，因此，A的行秩、列秩及A的秩都等于r。 由第二章§4的定理及 本节的定理5，矩阵经过初等变换后，行秩、列秩及秩都 证毕。 证明： （1） 不等于零的子式，故有 因为A中不等于零的子式也是 中 同理有 ，因此 将A，B按列分块，设 ，则 设 的列向量组的最大无关组为 则 是A的列向量组中的s个线性无关向量，故 的列秩=R(A) 是B的列向量组中的t个线性无关向量，故 的列秩=R(B) 于是有 的列秩=s+t 只含B的列向量，则 若(A,B)的列向量组的最大无关组只含A的列向量或 或 都有 （2） 设A，B为 矩阵，将其按列分块，设 则 对它做列 初等变换 ，得 因为列初等变换不改变矩阵的秩， 故有 于是由（1）得到 同理可证 （3） 设 其中 是A的列向量组， 根据分块矩阵的乘法，就有 是B的行向量组。 等式说明AB的列向量组是A的列向量组