考研数学基础班线性代数曾祥金.doc

目 录 第一讲 行列式与矩阵 ………………………………………………………… 2 第二讲 向量的线性相关性，矩阵的秩 ………………………………………… 21 第三讲 线性方程组 …………………………………………………………… 36 第四讲 相似矩阵与二次型…………………………………………………… 51 第一讲 行列式与矩阵 一、内容提要 （一）n阶行列式的定义 （二）行列式的性质 1．行列式与它的转置行列式相等，即； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号； 3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零； 5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即 ， 则 7．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。 （三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式 （1）余子式的定义 去掉n阶行列式D中元素所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记为 （2）代数余子式的定义 的代数余子式的记为 2．n阶行列式D依行（列）展开 （1）按行展开公式 （2）按列展开公式 （四）范德蒙行列式 （五）矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数组成的m行n列的矩形数表 称为m×n矩阵，记为 2．特殊的矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 若 ，则称A与B相等，记为A=B。 （六）矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设，则 （2）运算规律 ①?A+B=B+A； ②（A+B）+C=A+（B+C） ③?A+O=A ④?A+（-A）=0， –A是A的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设k为常数，则 （2）运算规律 ①?K?(A+B)?=KA+KB, ②?(K+L)A=KA+LA, ③?(KL)?A=?K?(LA) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设则 其中 （2）运算规律 ①；② ③ （3）方阵的幂 ①定义：A，则 ②运算规律：； （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① ② ③ 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵A=，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为， （2）运算规律 ① ②； ③ ④。 （3）对称矩阵与反对称矩阵 若则称A为对称阵； ，则称A为反对称阵。 5．逆矩阵 （1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作。 （2）A可逆的元素条件： A可逆 （3）可逆阵的性质 ①若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1?=A； ②若A可逆，k≠0，则kA可逆，且； ③若A可逆，则AT也可逆，且； ④若A，B均可逆，则AB也可逆，且。 （4）伴随矩阵 ①定义：，其中为的代数余子式， ②性质： i）； ii）； iii）； iv）若A可逆，则也可逆，且 ③用伴随矩阵求逆矩阵公式： （七）方阵的行列式 1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为或detA。 2．性质： （1）， （2）， （3）， （4） （八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵 1．单位阵E：； 2．数量矩阵kE：当 3．对角阵： 若，则 4．上（下）三角阵 设 若，则仍为上（下）三角阵 （九）矩阵的初等变换与初等矩阵 1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换 ①交换两行（列）； ②某行（列）乘一个不为零的常数k； ③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。 2．初等矩阵 （1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵； 交换i,j两行（列），记为E(i, j)； 第i行（列）乘不为零的常数k记为为E(i(k)); 第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i; （2）初等阵性质 初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵； 而 （3）方阵A可逆与初等阵的关系 若方阵A可逆，则存在有限个初等阵，使， （4）初等阵的行列式 （5）初等阵的作用： 对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且 3．矩阵的等价 （1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价， （2）A与B等价的三种等价说法， ①A经过一系列初等变换变到B； ②存在一些初等阵，使得 ③存在可逆阵P，Q，使得