考研数学线性代数超强总结.doc

√ 关于： ①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量； ②线性无关； ③； ④； ⑤任意一个维向量都可以用线性表示. √ 行列式的计算： ① 若都是方阵（不必同阶）,则 ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： √ 逆矩阵的求法: ① ② ③ ④ ⑤ √ 方阵的幂的性质： √ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式. √ 设的列向量为,的列向量为，的列向量为, √ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即： √ 矩阵方程的解法：设法化成 当时, √ 和同解（列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断是的基础解系的条件： ① 线性无关； ② 是的解； ③ . ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. ④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合. ⑦ 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示. 向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示. ⑧ 维列向量组线性相关； 维列向量组线性无关. ⑨ . ⑩ 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一. ? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 向量组等价 和可以相互线性表示. 记作： 矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作： ? 矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵与作为向量组等价 矩阵与等价. ? 向量组可由向量组线性表示≤. ? 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关. 向量组线性无关,且可由线性表示,则≤. ? 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价； ? 任一向量组和它的极大无关组等价. ? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关； 若，的列向量线性无关,即： 线性无关. 线性方程组的矩阵式 向量式  矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： 线性方程组解的性质： √ 设为矩阵,若,则,从而一定有解. 当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关. 是的上限. √ 矩阵的秩的性质： ① ② ≤ ③ ≤ ④ ⑤ ⑥≥ ⑦ ≤ ⑧ ⑨ ⑩ 且在矩阵乘法中有左消去律: 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. . 是单位向量 . √ 内积的性质： ① 正定性： ② 对称性： ③ 双线性： 施密特 线性无关, 单位化： 正交矩阵 . √ 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① ； ② ； ③ 是正交阵,则（或）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等