计算方法-特征值2剖析.ppt

一、基本QR方法 §2.QR方法 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。 实矩阵、非奇异。 理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝ “基本”收敛于一个Schur型阵。即主对角线及以下元素均收敛，主对角线以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝ “基本”收敛于对角矩阵。 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩 阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际 使用的QR方法是先用一系列矩阵相似变换将 A 约 化成拟上三角矩阵(称为上Hessenberg 矩阵)，然 后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具 有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟 上三角阵的方法有多种。 为了求矩阵特征值先进行初等变换把矩阵变成较简单形式 二、豪斯豪尔德(Householder)方法 豪斯豪尔德(Householder)变换 三、化一般矩阵为拟上三角阵 四、拟上三角矩阵的QR分解 五、带原点移位的QR方法