Chapter 8特征值问题的计算方法.ppt

* 第八章 特征值问题的计算方法 /*Computational Method of Eigenvalue Problem*/ 本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。 ?特征值和特征向量的基本概念与性质 §1 基本概念与性质 设 ，若存在向量 和复数 满足 ，则称 是矩阵 的特征值， 是对应 的特征向量。 特征多项式 的根的集合：谱集 其中 称 为 的代数重数（简称重数）； 为 的几何重数。 设 ， 对于矩阵 的特征值 ，如果 ，则称该特征值 为 的一个半单特征值。 若 的所有特征值都是半单的，则称 是非亏损的。 是非亏损的等价条件是 有n个线性无关的特征向量 设 ， 若存在矩阵 ，使得 则称 和 是相似的。 相似矩阵有相同的特征值 设 寻求已知矩阵 的相似矩阵 ，要求： 矩阵 的特征值和特征向量容易计算 本章QR算法的基本思想： 设 ，有 r个互不相同的特征值 ， 其重数分别为 ，则一定存在非奇异矩阵 使得 （Jordan分解） 其中 且除了 的排列 次序外， 是唯一的。 称作 的Jordan标准型 设 ，则存在酉矩阵 ，使得： （Schur分解） 其中 是上三角矩阵，且适当选择 ，可使 的元素 按任意指定的顺序排列。 设 ，令 （圆盘定理）/*Disc Theorem*/ 则 设 为对称矩阵，则存在正交矩阵 （谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ 其中 是 的n个特征值。 使得 设 为对称矩阵，且 的特征值为 （极大极小定理） 其中 表示 中所有k维子空间的全体。 则有 设 为对称矩阵，其特征值分别为 （Weyl定理） 则有 说明：对称矩阵的特征值总是良态的。 注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到， 本身必然存在误差，不妨假设 §4 QR 方 法 ?基本思想 利用正交相似变换将一个给定的矩阵逐步约化 为上三角矩阵或拟上三角矩阵的一种迭代方法 ?QR方法的迭代格式 设 令 对矩阵 进行QR分解 再对矩阵 进行QR分解 一、QR基本迭代方法 QR方法是目前计算矩阵全部特征值的最有效 的方法之一；具有收敛快、算法稳定等特点。 一般地有： 矩阵序列 中每一个矩阵都与原矩阵 相似 QR方法的迭代算法： For m=1,2,3,… 直到 近似 为上三角阵 由迭代格式同时还得到： 记 代入 等式两端同时右乘 记 即 ?QR方法的收敛性 设 的特征值满足 ，且 的 则由QR迭代算法产生的矩阵 的对角线以 第i行是 对应于 的左特征向量；若 有 分解， 下的元素趋于0，同时对角元素 趋于 （QR方法的收敛性质） 实际应用中遇到的多数特征值问题都是关于实矩阵 的，所以自然希望设计只涉及实数运算的QR迭代。 ?实QR迭代格式 设 二、实Schur标准形 For k=1,2,3,… 为正交矩阵 为上三角阵 （实Schur分解） 设 ，则存在正交矩阵 ，满足： 其中 为实数或具有一对复共轭 特征值的2阶方阵 特征值为 ，其中 为虚单位 见文献[13] 矩阵 称为 的Schur标准形 定理8.4.2说明：只要求得矩阵的Schur标准形， 就很容易求得矩阵的全部特征值。 缺陷： 很难得到 称下述形状的矩阵为上Hessenberg矩阵 三、上Hessenberg化 设 ， 寻求非奇异矩阵 ，使得 为上 Hessenberg 矩阵，然后再对 进行 迭代。 ?基本思想和约化过程： 记矩阵 下面采用Householder变换寻找 Step1 选取Householder变换 ，使得 其中 令 其中 Step2 选取Househoulder变换 ，使得 下面对作 同样的处理，以此类推 其中 令 令 其中 记 为正交阵 按照前述方法，经过n-2步后，可以得到： 其中 *