特征值问题的计算方法.pptx

第八章特征值问题的计算方法/*ComputationalMethodofEigenvalueProblem*/本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。?特征值和特征向量的基本概念与性质§1基本概念与性质设，若存在向量和复数满足，则称是矩阵的特征值，是特征值相应的特征向量。特征多项式的根的集合：谱集

其中称为的代数重数（简称重数）；为的几何重数。设，对于矩阵的特征值，如果，则称该特征值为的一个半单特征值。若的所有特征值都是半单的，则称是非亏损的。是非亏损的等价条件是有n个线性无关的特征向量

设，若存在矩阵，使得则称和是相似的。相似矩阵有相同的特征值设寻求已知矩阵的相似矩阵，要求：矩阵的特征值和特征向量容易计算本章QR算法的基本思想：

设，有r个互不相同的特征值，其重数分别为，则一定存在非奇异矩阵使得（Jordan分解）其中且除了的排列次序外，是唯一的。称作的Jordan标准型

（Schur分解）设，则存在酉矩阵，使得：添加标题1其中是上三角矩阵，且适当选择，可使的元素添加标题2按任意指定的顺序排列。添加标题3设，令添加标题4（圆盘定理）/*DiscTheorem*/添加标题5则添加标题6

设为对称矩阵，则存在正交矩阵（谱分解定理）/*SpectralDecomposition*/其中是的n个特征值。使得设为对称矩阵，且的特征值为（极大极小定理）其中表示中所有k维子空间的全体。则有

设为对称矩阵，其特征值分别为（Weyl定理）则有说明：对称矩阵的特征值总是良态的。注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到，本身必然存在误差，不妨假设

§2幂法与反幂法/*PowerMethodandReversedPowerMethod*/幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。一、幂法的基本思想与算法假设是可对角化的，即存在如下分解：其中不妨假设对于

说明：当k充分大时,的一个近似特征向量为特征向量可以相差一个倍数章节一

其中为的模最大分量但我们关心的仅是的方向，故作如下处理：因为向量中含有未知量，实际不能计算令

?幂法迭代算法：Fork=1,2,3,…if输出和设和均收敛，由算法知幂法可以计算矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量

解：Step1例1：利用幂法求下列矩阵的模最大的特征值及相应的特征向量.(取初始向量为)Step2

添加标题Step301添加标题Step402添加标题特征值及相应的特征向量精确值为:03

?幂法的收敛性：设有p个互不相同的特征值满足：添加标题1且模最大特征值是半单的，如果初始向量在添加标题2的特征子空间上的投影不为零，则由幂法算法产生的添加标题3向量序列收敛到的一个特征向量，且数值添加标题4序列收敛到。添加标题5特征子空间：添加标题6

证明：设有如下Jordan分解：是属于的Jordan块构成的块上三角矩阵是半单的特征值令将和如下分块：

是属于的一个特征向量记

几点说明：?定理8.2.1条件不满足时，幂法产生的向量序列添加标题1可能有若干个收敛于不同向量的子序列；添加标题2?幂法的收敛速度取决于的大小；添加标题3加速方法：适当选取，对应用幂法添加标题4称之为原点平移法添加标题5原点平移法不改变矩阵的特征向量添加标题6

?幂法可以计算第二个模最大特征值常用的方法：降阶方法（收缩技巧）设已经计算出模最大特征值及其特征向量对向量，