自动控制理论基础-第4章 根轨迹法.ppt

* 根轨迹的绘制不必太准确，主要是一些关键点需要准确，例如：实轴上的根轨迹、分离点、与虚轴的交点等，这样才能很好确定根轨迹的大致走向。 在根据开环零、极点的分布初步确定出根轨迹的图形后，特别要认真检查和计算，是否存在分离点，否则可能导极完全错误的结论。 * 例2： 没有分离点 分离点为：-3 * 没有分离点 分离点为：-2.5；-4 * 4.6 习题: 3, 4 * 再见 * 《自动控制理论基础》 第十二讲 * 4-4 控制系统的根轨迹分析 绘制根轨迹的目的，主要在于根据系统闭环零、极点的分布对系统的性能进行分析。 一、闭环零、极点分布与系统性能的定性关系 一个性能良好的系统，对闭环零、极点有如下要求： 1、稳定性 * 所有闭环极点应位于s平面的左半平面。 2、快速性： 各闭环极点应尽量远离虚轴。 3、平稳性： 4、合理配置主导极点及闭环零点的位置： 复数极点最好设置在 附近，系统的平稳性和快速性都较好。 主导极点一般选为一对复数共轭极点，以便按二阶系统的性能指标来分折。 * 偶极子：一对靠得很近的闭环零极点。 故在综合设计中，加入适当的零点去抵消对系统动态过程影响较大的不利极点。 二、闭环主导极点分布与阶跃响应的关系： 1、主导极点位于负实轴上 * 此时，系统处于过阻尼状态： 2、主导极点位于负实轴分离点处 此时，系统处于临界阻尼状态： * 3、主导极点为一对实部为负的共轭极点 此时系统处于欠阻尼状态： 等峰值时间线 等阻尼线 等调节时间线 等频率线 * 4、主导极点位于虚轴上的一对纯虚数闭环极点 此时系统处于零阻尼状态： * 5、主导极点为实部为正的复数极点 此时系统处于负阻尼状态： * 6、主导极点位于正实轴上 此时系统处于负阻尼状态： 系统有两个不相等的正实数闭环极点。 确定主导极点之后，在一定条件下，就可将高阶系统近似看为一、二阶系统，直接利用前面瞬态响应公式计算系统的性能指标。 * 例1：某系统闭环传递函数为： 试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。 故系统的主导极点为 ，极点 可忽略不计，这时系统可近似看成—阶系统，即 * 例2：系统的闭环传递函数为 试估算系统性能指标。 故 与 构成偶极子,主导极点不是 ，而是 ， 则系统可近似为二阶系统，即 * 三、增加开环零、极点对根轨迹的影响 系统附加开环零点之后，根轨迹将向零点方向弯曲，故适当选择零点的位置，可以改善系统的稳定性和动态性能； * 例3：增加开环零点 * 附加开环极点后，根轨迹将向右弯曲，甚至可使系统变得不稳定，因而一般不希望单独增加开环极点。 例4：附加开环极点 * 例5：系统的开环传递函数如下所示： 要求:(1）绘制K(0~∞)变化的根轨迹； （2）试求出系统呈现欠阻尼时的根轨迹增益K的范围； （3）求系统最小阻尼比时的闭环极点。 解: (1)根轨迹的起点：0、-1(开环极点)；根轨迹的终点：-2、-3(开环零点)； * 求得分离点和会合点分别为： -0.634；-2.366； 复数根轨迹部分是园，园的直径是： d=2.366-0.634=2*0.866 故园心为:(-1.5，j0)，半径为：0.866； 从而可绘出根轨迹如下图所示： * （2）系统呈现欠阻尼时的开环增益范围依幅值条件： * 对于分离点，有 对于会合点，有 * （3）确定系统最小阻尼比时的闭环极点： 对应最小阻尼比的等阻尼线是坐标原点至园的切线，故阻尼角为 故最小阻尼比时的闭环极点为： * 4.6 习题: 6, 10, 12, 14, 15 * 再见 * 解出分离点为： 系统根轨迹如下所示： * 七、出射角 ，入射角 ： 根轨迹的出射角，是指起于开环极点的根轨迹的起点处的切线与水平线正方向的夹角。（入射角同理） * 在根轨迹上选择一点 s1，距离复极点P1 为δ ，当 则 , 即为出射角。故由幅角条件,有 由于 距 无限接近，故可改写为 * 故出射角和入射角的计算公式即为： 知道了入射角和出射角对绘制根轨迹很有帮助，它可以大致确定相应根轨迹的起始方向和终止方向。 * 例：系统的开环传递函数为 试求系统根轨迹的出射角。 容易算出各极点间的相角，故出射角即为： * * 八、根轨迹与虚轴的交点： 1、利用劳斯判据确定交点 例：系统开环传递函为 闭环特征方程即为： 利用劳斯判据，有 * 于是，有 辅助方程