2024_2025学年新教材高中数学第三章函数4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点学案新人教B版必修第一册.doc
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数学建模活动：确定苹果的最佳出售时间点
新课程标准解读
核心素养
1.会对实际问题进行数学抽象，会用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题
数学建模、数学抽象
2.数学建模活动的基本过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发觉问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题
数学建模
一、“确定苹果的最佳出售时间点”课题探究活动步骤分析
1．实际问题情境
例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，假如利用肯定的技术手段将苹果进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入．不过，须要留意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
2．问题提出
对于上述实际问题可以提出许多问题，例如：(1)为什么会发生这些现象？(2)什么状况下不会发生这样的现象？(3)能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？(4)哪种保鲜存储的成本最低？类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，还可能涉及物理、化学、生物、科学技术、环境等问题，但数学建模所能解决的是关于量的改变问题，所以在上述诸多问题中分别出可以用数学符号和语言进行表述且涉及到量的增大与削减问题即是“确定苹果的最佳出售时间点”这一探究课题．
3．收集数据
规定所用符号
(1)设市面上苹果的总量为x万吨，此时苹果的单价为y元；
(2)设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储费用为C元；
(3)苹果上市量x(万吨)随时间t(天)的改变而改变．
x/万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t/天
1
2
C/元
0.11
0.12
t/天
1
2
3
x/万吨
9.462
9.328
9.198
注明：收集的数据组数越多，越接近实际问题．
4．数据分析
(1)由x与y的市场规律可知，y可看作x的函数，用y＝f(x)表示，此函数为减函数；
(2)C与t的关系也呈现函数关系，用C＝g(x)表示，且为增函数；
(3)x与t的关系也呈现函数关系，用x＝h(x)表示，且为减函数．
5．建立数学模型
用z表示单位数量的苹果所获得的收益，z＝y－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g(t)的最大值问题．
由收集的数据可设f(x)和g(x)都暂设为一次函数，f(x)＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；
假设h(t)为二次函数，h(t)＝at2＋bt＋c.
则z＝f(h(t))－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2)t＋k1c＋l1－l2，
其中k10，k20，a≠0.
6．求解模型
利用待定系数法，依据前面的假设就可以确定出
y＝f(x)＝－0.5x＋5，
C＝g(t)＝0.01t＋0.1，
x＝h(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1.
留意到上式可以改写成z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此时在t＝30时，z取最大值1.也就是说，在上述状况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元．
当然实际状况与上面的建模结果可能会出现偏差．因为我们假设f(x)和g(t)都是一次函数等就已经把问题进行了简化，假如条件容许的话，可以先不假设函数的详细形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的详细形式，这样也就能优化我们最终建立的模型．
7．检验模型
(1)从直观上看拟合效果：用收集的其它数据进行检验；
(2)从理论用某些数据(相关系数等)进行评价．
8．解决实际问题
若拟合度较高，可采纳此模型对实际情境中的t与y之间的关系进行预料，为下一步决策供应依据，否则重返回第4步数据分析．由样本数据做出散点图，利用散点图供应的信息重新建立较为相近的函数模型．
数学模型活动的一般步骤：
数学探究活动是围绕某个详细的数学问题，开展自主探究、合作探讨并最终解决问题的过程．详细表现为：发觉和提出有意义的数学问题，揣测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探究、合作探讨论证数学结论．数学探究活动是运用数学学问解决数学问题的一类综合实践活动，也是中学阶段数学课程的重要内容．
二、数学建模实操练习(结果不唯一)
1．提出问题
在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？
2．建立模型
这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素．而不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则困难且不确定．面对这些不同和不确定，就须要作出假设．例如，虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此这次建模就只考虑小轿车的状况，它们的长度差距不大，可以假设车辆长度都相同．
经过对相关因素的分析，可