秋数学与应用数学本科《复变函数》模拟试卷及答案.doc
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数学与应用数学（本科）专业《复变函数》模拟试卷及答案（一）
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1.设，则可用表示为（ ）．
(A) (B) (C) (D)
2.若，则上半平面可表示为（ ）．
(A) (B) (C) (D)
3.（ ）．
(A) (B) (C) (D)
4.函数在复平面上可表示为（ ）．
(A) (B) (C) (D)
5.设，则为的（ ）．
(A) 一级零点 (B) 二级零点
(C) 三级零点 (D) 四级零点
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
1.设为实数，称形如的 为复数．
2.设，则称 为指数函数，其中“”为自然对数的底．
3.若存在某个，使得 ，则称点为函数的解析点．
4.函数在点展成罗朗级数，即在 内展成罗朗级数．
5.若映射在区域内是 ，则称此映射为区域内的保形映射．
三、计算题（本题共45分, 每小题15分）
1.设，试求解析函数，使得，且满足．
2.设，试将在点展成幂级数．
3.计算积分．
四、证明题（本题共15分）
试证：若，则在内只有一个零点．
答案
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1.B 2.C 3.D 4.B 5.A
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
1. 有序数对 2. 3. 在内处处可导
4. 5. 单叶且保角的
三、计算题（本题共45分, 每小题15分）
1. 解：由C－R条件有，所以
又因为，得，所以
所以
由此得
由得，故
经验证
或
即为所求．
2. 解：在内可展成幂级数，有
，
3. 解：令
因为在积分路径的内部含有三个奇点，与，所以
而
故得
四、证明题（本题共15分）
证：令
因与均在上解析，且在上有
即
所以，
与
在内有相同个数的零点．
而在内只有一个零点，故在内只有一个零点．
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