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《复变函数论》试卷一.doc

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《复变函数论》试卷一 填空(30分) 将复数化为三角表示式,则 把它化为指数表示式,则 2. ,的辐角的主值为 3. 0是的 阶零点. 4.是的阶零点,则是的 阶极点. 5.已知为解析函数, 则 6.方程的根为 , , 简要回答下列各题(15分) 用复数去乘复数的几何意义是什么? 函数在解析有哪几个等价条件? 设函数在单连通区域内处处解析,且不为零,是内的任一简单闭曲线,问积分是否等于零,为什么? 计算下列积分(16分) ,是从点到点的有向直线段 四、(12分) 求函数在圆环内的洛朗级数展开式. 五、(12分) 证明方程在单位圆内及其上无解. 六、(15分) 求映射,把带形区域共形映射成单位圆,且把映射成,把映射成. 《复变函数》试卷二 填空题(20分) 1. -2是 的一个平方根 2. 设,则, = 3. 若,则满足条件 4. , 5. 设,则 6. 设变换为复常数,则称此变换为 变换,它是由 等三个变换复合而成. 7. 幂级数的收敛半径 8.函数在处的幂级数展开式为 ,其收敛半径为 9.变换将区域变换成区域 判断下列命题之真伪(20分) 1.在全平面上任意阶可微. ( ) 2. 若函数在有界区域内有解析,且在其中有无穷多个零点,则在内恒为零. ( ) 3. 设扩充复平面上的点时函数的可去奇点,则. 4. 若是区域内的保形变换,则在内单叶解析且保角. 5. 若函数在区域内解析,则,其中是内的任意一条围线. 6. 设在区域内可导,则在内, 7. 设函数在点解析,则总存在,在内能展成幂级数. 8. 非常数的整函数必为无界函数. 9. 设在区域内解析,则在内连续. 10. 若函数在点可导,则在点解析. 三、计算下列各题(24分) 求极限 求 ,其中是下半圆周,起点,终点 求的立方根 求 求在及的残数 求 四、(16分) 叙述儒歇定理 证明方程在单位圆内有根 五、求下列变换(20分) 求将对应变成的线性变换 求出将圆变为半平面的保形变换,使得圆心变到-4,而圆周上的点变到 《复变函数》试卷三 填空题(45分) = ,复数的模为 设,则= 设,则= 是周期函数,其基本周期为 如果函数在区域内满足条件: ,则称为区域内的解析函数 设是连接与的直线段,则= 设圆周,则= 级数的收敛半径为 ,级数的收敛半径为 为函数的 级零点 叙述最大模原理: 设,则为的 级极点,为的 级极点 设,则在点处的旋转角= 判断下列命题之真伪(15分) 函数在平面上处处不解析 是整函数 若函数在区域内解析,是内任一条围线,则 设函数在点解析,则总存在,在内能展成幂级数 若函数在点可导,则在点解析 求解下列各题(20分) 求积分 求积分 求积分 试将函数按的幂展开,并指出其收敛范围 求将对应变成的线性变换 四、证明题(20分) ①叙述代数学基本定理 ②试用复分析方法证明代数学基本定理 证明方程在单位圆内有根 试卷4 填空题(50分) 1. 已知,则= ,= ,= 2. = 3. 设,则= 4. 的零点为 ,的零点为 5. = , = 6. 函数在区域内解析的充要条件是 7. = = 8. 幂级数 的收敛半径为 9. 是函数的 级零点 10. 叙述最大模原理:
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