D4_2不定积分的换元积分法.ppt

阜师院数科院 第二节 基本思路 一、第一类换元法 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 常用的几种配元形式: 例6. 求 例7. 求 例9. 求 例10. 求 解法 2 例11. 求 例12 . 求 例13. 求 例14. 求 例15. 求 小结 思考与练习 2. 求 二、第二类换元法 定理2 . 设 例16. 求 例17. 求 例18. 求 说明: 例19. 求 小结: 2. 常用基本积分公式的补充 (P203) 例20. 求 例22. 求 例24. 求 例25. 求 思考与练习 2. 已知 作业 备用题 1. 求下列积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 (P203 公式 (20) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例21. 求 解: (P203 公式 (23) ) 解: 原式 = (P203 公式 (22) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例23. 求 解: 原式 (P203 公式 (22) ) 解: 令 得 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 令 例16 例16 目录 上页 下页 返回 结束 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 两边求导, 得 则 (代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 二、第二类换元法 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章 第二类换元法 第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 可导, 则有 定理1. 则有换元 公式 (也称配元法 即 , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 故 原式 = 注: 当 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 想到公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 想到 解: (直接配元) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似 解: ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 解法2 两法结果一样 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样可证 或 (P196 例16 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: ∴原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 1. 下列各题求积方法有何不同? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 法1 法2 法3 作业 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 证: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录