D4—2：换元积分法(新).ppt

5.被积函数含有简单根式时 , 可尝试通过根式代换的方法 令 令 例如: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 例9. 求 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 令 或 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 令 令 根式代换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充 * (见L. P137-138) 二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章 引例 原因是被积函数是复合函数,不能直接套用基本积分表！ 第一类换元法的基本思路: 回代 一、第一类换元积分法 定理1 回代 (也称配元法 , 凑微分法) 一、第一类换元积分法 定理1 回代 由定理1，引例中的积分可计算如下 (也称配元法 , 凑微分法) 例1 解： 分析： 例2. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似 例3. 求 分析: 令 则 故 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 注: 当 时 例4. 求 分析: 令 则 想到公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 例5. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 想到 例6. 求 解:原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析： 常用的几种凑微分（配元）形式: 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种凑微分（配元）形式: 例7. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求 解: 原式 = 例9. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求 解法1 解法2 两法结果一样 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 求 解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法 2 同样可证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12 . 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结 常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 等 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 作业：…… 二、第二类换元积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 令 得到的 定理2 回代 第二类换元积分法常用于消除被积函数中的根式。 二、第二类换元积分法 回代过程可利用下述三角形进行： t a x 例1 解： t a x 例2 解： 第一类换元法 t a x 回代过程可利用下述三角形进行： t a x 例3 解： t a x 例4 解： t a x 例5 解： t a x 回代过程可利用下述三角形进行： t a x 例6 解： t a x 例7 解： 例8. 求 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.当分母中因子次数较高时, 可试用倒代换的方法 原式 * (见L. P137-138)