换元积分法与分部积分法.doc

§8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法． 基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议： (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程： 一、第一类换元法 ——凑微分法： 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分，如果凑上一个常数因子2，使成为 令则上述右端积分 然后再代回原来的积分变量，就求得原不定积分 更一般的，若函数是函数的一个原函数，是可微函数， 并且复合运算有意义，根据复合函数求导法则 ???? 及不定积分的定义，有 ???????????? 由于?????????? 从而???????? ???????????????????（1） 综上所述，可得如下结论 定理8.4：（第一换元积分法） 设是连续函数，是的一个原函数。又若连续可微，并且复合运算有意义，则 ??????????????? （2） 第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成的形式，可通过变量代换把被积表达式等同于，若不定积分 　　　??? 　　 容易求得，那么再将代入，便求出原不定积分 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式变为 的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积，其中一个因子与凑成某一函数的微分，而另一因子是的函数，且经过这样的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。 凑微分法1： 例１、利用，求下列积分 ，令有 　 再将代入，有 　　　　　 令，有 再将代入， 有 令　 　　　　 再将代入，有 　　　　　　　　　 如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了。 凑微分法2、 . 特别地, 有 和 . 例２、利用 ， 求下列积分 　　　　＝ 解：（4） 例３、若被积函数利用，有如下公式 求下列积分 　 　 　 以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例４、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分 　　　　　 　　　　 ＝ ＝ 凑微分法3： 例５、对于与形式的积分，当是偶数时，可利用三角恒等式 　　　　 来降低三角函数的幂，当是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。 ＝ 　　　　　 　　　　　＝ 　　　　　 例６、 对于形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式 　 　　　　　　　　　 ＝ 例７、根据 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ＝ 例８、 ＝ 凑微分法4： . 例9、 凑微分法5 ： 例10、 凑微分法6： . 例11、 . 其他凑法举例: 例12、 . 例13、 例14 . 例15、 . 例16、 . 例17、 例18、 . 　以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题：P188—189 1（1）～(24)； 二、第二类换元法 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即 = = 　在式（１）中，如果 容易求得，并且，则式（2）右端的不定积分。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理8.5（第二换元积分法）:设是连续函数，是连续可微函数，且定号，复合运算有意义。设是的一个原函数，即?? 则??? =??????????? （3） 其中。 证明：有定理假设定号，，故函数存在反函数，又 ?????? ???? 于是 = 可见是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立。 第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换，从而 ，于是 若