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换元积分法与分部积分法.doc

发布:2017-02-09约5.93千字共21页下载文档
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§8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标:掌握第一、二换元积分法与分部积分法. 教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法. 基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法. 教学建议: (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题. (2) 总结分部积分法的几种形式:升幂法,降幂法和循环法. 教学过程: 一、第一类换元法 ——凑微分法: 有一些不定积分,将积分变量进行适当的变换后,就可利用基本积分表求出积分。例如,求不定积分,如果凑上一个常数因子2,使成为 令则上述右端积分 然后再代回原来的积分变量,就求得原不定积分 更一般的,若函数是函数的一个原函数,是可微函数, 并且复合运算有意义,根据复合函数求导法则 ???? 及不定积分的定义,有 ???????????? 由于?????????? 从而???????? ???????????????????(1) 综上所述,可得如下结论 定理8.4:(第一换元积分法) 设是连续函数,是的一个原函数。又若连续可微,并且复合运算有意义,则 ??????????????? (2) 第一换元积分公式(2)说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成的形式,可通过变量代换把被积表达式等同于,若不定积分    ???    容易求得,那么再将代入,便求出原不定积分 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式变为 的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积,其中一个因子与凑成某一函数的微分,而另一因子是的函数,且经过这样的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式,所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强,无一般规律可循,因而不易掌握,初学者只有多做练习,不断总结经验,才能运用自如。 凑微分法1: 例1、利用,求下列积分 ,令有   再将代入,有       令,有 再将代入, 有 令       再将代入,有           如果运算比较熟练,为了简化解题步骤,变量代换可以不写出来,只需默记在头脑中就可以了。 凑微分法2、 . 特别地, 有 和 . 例2、利用 , 求下列积分     = 解:(4) 例3、若被积函数利用,有如下公式 求下列积分       以上3例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来,就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例4、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分            = = 凑微分法3: 例5、对于与形式的积分,当是偶数时,可利用三角恒等式      来降低三角函数的幂,当是奇数时,变正(余)弦函数的积分为余(正)弦函数的积分。 =            =       例6、 对于形式的积分,可利用三角函数的积化和差公式             = 例7、根据                   = 例8、 = 凑微分法4: . 例9、 凑微分法5 : 例10、 凑微分法6: . 例11、 . 其他凑法举例: 例12、 . 例13、 例14 . 例15、 . 例16、 . 例17、 例18、 .  以上例子大都采用了初等数学(代数或三角函数)中的运算技巧将被积函数进行适当的变形,然后再进行变量带换。因此在作积分运算时,应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题:P188—189 1(1)~(24); 二、第二类换元法 从积分 出发,从两个方向用凑微法计算,即 = =  在式(1)中,如果 容易求得,并且,则式(2)右端的不定积分。利用这个过程求不定积分的方法,称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理8.5(第二换元积分法):设是连续函数,是连续可微函数,且定号,复合运算有意义。设是的一个原函数,即?? 则??? =??????????? (3) 其中。 证明:有定理假设定号,,故函数存在反函数,又 ?????? ???? 于是 = 可见是式(3)左端不定积分的被积函数的一个原函数,所以式(3)成立。 第二换元积分法指出,求式(3)左端不定积分,作变量代换,从而 ,于是 若
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