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高等数学（经） 第5章　定积分及其应用 第5章 定积分及其应用 5.2 微积分基本公式 5.4 广义积分 5.5　定积分的应用 5.1 定积分的概念与性质 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 高等数学（经） 主要内容 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 定理5·4 5.3.1 定积分的换元积分法 　　设函数　　　在　　　上连续，令　　 　 ，且满足　 (1) (2) 当 从 变化到 时， 单调地从 变化到 ； (3) 在 上连续． 则 上式称为定积分的换元公式 ． 高等数学（经） 解： 5.3.1 定积分的换元积分法 令 ,则 , ,且当 时，　　 ， ．所以 当 时， 例10 计算 高等数学（经） 解： 5.3.1 定积分的换元积分法 。所以 令 ,则 　, 且当 时， 当 时， *例11 计算 高等数学（经） 5.3.1 定积分的换元积分法 例12 设 在 上连续，试证明： (2)若 在 上为奇函数，则 上为偶函数，则 (1)若 在 高等数学（经） 证明: 5.3.1 定积分的换元积分法 当 。于是 当 时， 时，　　； 令 ,则 , 在 　　　中 因为 高等数学（经） 证明: 5.3.1 定积分的换元积分法 (1)若 为偶函数，则 。于是 所以 (2)若 为奇函数，则 。于是 所以 高等数学（经） 例12的几何解释 ： (2)奇函数的图像关于原点对称 (1)偶函数的图像关于y轴对称 5.3.1 定积分的换元积分法 高等数学（经） 解: 　　利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到 简化，甚至不经计算即可得到结果. 5.3.1 定积分的换元积分法 (1) 因为被积函数 　　 是奇函数, 关于原点对称．所以 且积分区间 例13 计算定积分　　　　　． 解: 5.3.1 定积分的换元积分法 且积分区间 关于 是非偶非偶函数， 原点对称．所以 被积函数 是偶函数， 是奇函数， 例14 计算定积分　　　　　　　 　　 ． 高等数学（经） 定理5·5 5.3.2 定积分的分部积分法 　　设函数　 与　 　在　　 上有连续的导数，则 或简写成 上述公式称为定积分的分部积分公式. 高等数学（经） 解: 解: 5.3.2 定积分的分部积分法 例16 计算 例15 计算 高等数学（经） 解: 5.3.2 定积分的分部积分法 例17 计算 高等数学（经） 课堂练习 ： 4．求定积分　　　　　 . 3．求定积分　　　　　　 　　　 . 2．求定积分　 　　　　　． 1．求定积分 　 　　　　． （答案： ） （答案： ） （答案： 　　 ） （答案： ） 高等数学（经） 1．定积分的换元积分法 ． 2．对称区间上定积分的计算方法． 3．定积分的分部积分法 ． 小结 高等数学（经） 作业 习题5 8 9 10 高等数学（经）