2024_2025学年新教材高中数学基础练51两角和与差的正弦余弦正切公式一含解析新人教A版必修第一册.doc

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两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)α\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝()

A．eq\f(3\r(2)－\r(3),6) B．eq\f(3\r(2)＋\r(3),6)

C．eq\f(\r(6)－3,6) D．eq\f(\r(6)＋3,6)

【解析】选A.因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝eq\f(\r(3),3)，

所以sinα＝－eq\f(\r(3),3)，所以－eq\f(π,2)α0，所以cosα＝eq\f(\r(6),3)，

所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝sinαcoseq\f(π,3)＋cosαsineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),3)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(6),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2)－\r(3),6).

2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()

A．－eq\f(7\r(2),10)B．eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D．eq\f(\r(2),10)

【解析】选A.因为cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，所以sinα＝－eq\f(3,5)，由两角和的正弦公式可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).

3．若锐角α，β满意cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，则sinβ的值是()

A．eq\f(17,25)B．eq\f(3,5)C．eq\f(7,25)D．eq\f(1,5)

【解析】选C.因为cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5).所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)－eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,25).

4．已知eq\r(3)sin(π－x)＋cos(－x)＝eq\f(8,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()

A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(6,5)D．eq\f(7,5)

【解析】选B.由eq\r(3)sin(π－x)＋cos(－x)＝eq\f(8,5)得，

eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(8,5)，

故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosxcoseq\f(π,3)＋sinxsineq\f(π,3)

＝eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(1,2)(cosx＋eq\r(3)sinx)

＝eq\f(1,2)×eq\f(8,5)＝eq\f(4,5).

5．在△ABC中，A＝eq\