五章节定积分概念.pdf
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第一节定积分的概念
一、问题的提出
二、定积分的定义
三、存在定理
四、定积分的几何意义
五、小结
1
一、问题的提出
实例1（求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线yyf(x)
y
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1一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、定积分的几何意义五、定积分的性质
2abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出
3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）
4求曲边梯形面积的步骤：
5实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
61、分割3、求和4、取极限
7上述两个问题的共性:1、解决问题的方法步骤相同:
8二、定积分的定义定义
9被积函数被积表达式积分
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第一节定积分的概念与性质
一、问题的提出
二、定积分的定义
三、存在定理
四、定积分的几何意义
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一、问题的提出
实例1（求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线y
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4原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？
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定积分与微积分定理
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将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；
变力做功
2．定积分的几何意义
说明：一般情况下，定
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第一节
一、问题旳提出
二、定积分旳定义
五、定积分旳性质
定积分旳概念
三、定积分旳几何意义
四、可积旳充分条件
第五章
一、问题旳提出
1.曲边梯形旳面积
由曲线
及直线
围成,
求其面积A.
面积：
处理旳环节
1)大化小：
[a,b]中任意插入n–1
个分点:
用直线
n个小曲边梯形;
，将曲边梯形提成
3)近似和：
4)取极限：
令
2)常代变：
任取
第i个窄曲边梯形面积
2.变速直线运动旳旅程
经过旳旅程s.
1)大化小：
速度
n小段
处理旳环节
v变化，
公式失效
初等公式
3)近似和：
4)取极限：
措施环节相同:
“大化小,常代变,近似和,取极限”
极限构造式相同:
特殊
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解决问题的基本思想 * 经济数学基础（微积分） */29 The Concept of Definite Integral 在一切理论成就中，未必再有像17世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利！ ——恩格斯 * 微积分的创始人------莱布尼兹和牛顿 莱布尼兹（德国，1646-1716）从几何学的角度完成了微积分的创立工作。 牛顿（英国，1643-1727）从运动学的角度完成了微积分的创立工作。 1.1 面积问题 Area Problem ⑴如何确定湖泊的面积？ 湖泊面积怎么计算？ 平面规则图形的面积 矩形 三角形 圆 平行四边形 正六边形 梯形 ⑵不规则图
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第五章 积 分 §5.1 定积分的概念 1o定积分问题的提出 问题一: 曲边梯形面积的计算 设 y = f (x) ? 0 , x?[ a , b ] 计算: 由曲线 y=f (x) , y =0, x=a, x = b 所界的曲边梯形 abcd 的面积 A a b x y o a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 可以看到 , 小矩形越多, 小矩形的总面积越接近 于曲边梯形面积 A (1) 分割: 使 [ a , b ] 被划分为 n 个子区间 [ xi-1 , xi ] , 记 [ xi-1 , x
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第六章 第一节 一、定积分实际背景 解决步骤 : 3) 近似和. 2. 变速直线运动的路程 3) 近似和. 三 定积分的几何意义: 四、定积分的性质 当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 例2. 试估计 性质6. 积分中值定理 说明: [注] 利用 * * 积分学 不定积分 定积分 定积分 一、定积分的实际背景 二、 定积分的概念 三、 定积分的几何意义 定积分的概念 四、 定积分的性质 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 矩形面积 梯形面积 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分
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对 D 进行分割： 小曲顶柱体 曲顶柱体的体积 (底面积) (高) 小曲顶柱体的体积 . . 小平顶柱体体积为： 近似代替 曲顶柱体的体积 比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量 小曲顶柱体 平面薄板小块 (底) (高) (密度) (面积) (面积) (小块) 能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？ 利用平行截面面积为已知的几何体体积计算方法. . 曲顶柱体的体积 . 曲顶柱体的体积 综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法, 得到 就是说, 二重积分可以通过两次定积分来计算. 由此想想, 其它的几种积分是不是也可通 过定积分来计算？ 例如, 对于
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§5.1定积分的概念
一、两个引例
二、定积分的定义
三、定积分的几何意义
四、小结
一、两个引例
引例1求由连续曲线轴及直线所围成的曲边梯形的
面积A。
1、要解决“曲与直”的矛盾——“分割
”
第一步：分割
第一步：分割
在区间内任意插入个分点，
a=x0x1x2Lxn-1xn=b,
把区间分成n个小区间
第i个区间的长度为
第二步：近似
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在每个小区间上任取一点，
以为底，为高的小矩形面积为
用矩
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课题定积分的概念教具用品多媒体教学目的理解定积分的概念,掌握定积分的几何意义重点难点定积分的概念教学方法设计与时间分配教学方法：讲授时间分配：45分钟
§5.1定积分的概念二、定积分的定义一、两个引例三、定积分的几何意义四、小结
一、两个引例引例1求由连续曲线轴及直线所围成的曲边梯形的面积A。1、要解决“曲与直”的矛盾——“分割”第一步：分割,1210bxxxxxann==-L个分点，内任意插入在区间把区间分成n个小区间第i个区间的长度为
第二步：近似在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形面积为第三步：求和得曲边梯形面积A的近似值为:将n个小曲边梯形面积的近似值求和
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第三章行波法与积分变换法
一行波法
适用范围：
无界域内波动方程，等…
1基本思想：
先求出偏微分方程通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程解法是一样。
关键步骤：
经过变量变换，将波动方程化为便于积分齐次二阶偏微分方程。
第1页
第2页
一维波动方程达朗贝尔公式
行波法
第3页
结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传输两列波速为a波叠加，故称为行波法。
4解物理意义
第4页
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
5达朗贝尔公式应用
第5页
特征线
特征变换
行波法又叫特征线法
6相关概念
第6页
7非齐次问题处理
第7页
则：
第8页
从而原问题解为
第9页
第10页
双曲型方程
椭圆型
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第十讲
数值积分1
第十讲主要知识点求积公式、代数精度旳概念牛顿－柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式*多种求积公式旳代数精度2
引言根据微积分基本定理,只要找到被积函数旳原函数，，便有牛顿-莱伯公式因为大量旳被积函数找不到用初等函数表达旳原函数，而试验测量或数值计算给出旳一般是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接利用。所以有必要研究积分旳数值计算问题。3
数值求积旳基本思想根据积分中值定理，就是说，底为而高为旳矩形面积恰恰等于所求曲边梯形旳面积。取内若干个节点处旳高度，经过加权平均旳措施生成平均高度，此类求积公式称机械求积公式：式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴
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1一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分四、小结三、Γ函数的介绍
2一、无穷限的广义积分
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4
5例2计算广义积分解
6例3计算广义积分解
7证
8证
9
10二、无界函数的广义积分
11
12定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
13例1计算广义积分解
14证
15例3计算广义积分解故原广义积分发散.
16例4计算积分解瑕点
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22三、Γ函数介绍Γ函数：特点：（1）积分区间为无穷。（2）当s-10时，被积函数在x=o的右邻域内无界。（1）Γ函数在s0时收敛，且连续、可导。Γ函数的性质：(2)递推公式：
23事实上，当s取正整数n+1时,,而所以由此可以把函数