五章节定积分概念与性质.pdf
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第一节定积分的概念与性质
一、问题的提出
二、定积分的定义
三、存在定理
四、定积分的几何意义
五、定积分的性质
1
一、问题的提出
实例1（求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线y
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1一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、定积分的几何意义五、定积分的性质
2abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出
3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）
4求曲边梯形面积的步骤：
5实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
61、分割3、求和4、取极限
7上述两个问题的共性:1、解决问题的方法步骤相同:
8二、定积分的定义定义
9被积函数被积表达式积分
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3例定义：一、原函数与不定积分的概念
4原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？
5关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）
6任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量
7例1求解解例2求
8例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为
9显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互
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五章节定积分概念.pdf
第一节定积分的概念
一、问题的提出
二、定积分的定义
三、存在定理
四、定积分的几何意义
五、小结
1
一、问题的提出
实例1（求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线yyf(x)
y
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重积分的概念和性质.ppt
第九章重积分
一元函数积分学
多元函数积分学重积分
在一元函数积分学中，定积分是定义在某一区间
上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由
于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形
体的体积、曲面的面积、空间物体的质量等，定
积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学
逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的
推广，从而提出了多元函数的积分学问题。
当人们把定积分解决问题的基本思想——
01
“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是
完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函
数积分学。
本章将讨论二重积分的概念、性质、计算和应用。
02
重点：重积分的计算方法
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例4.试证:证:设添加标题1则在添加标题2上,有添加标题3即添加标题4故添加标题5即添加标题6性质78.积分中值定理则至少存在一点添加标题使添加标题证:添加标题则由性质7可得添加标题根据闭区间上连续函数介值定理,添加标题使添加标题因此定理成立.添加标题说明:故它是有限个数的平均值概念的推广.可把因积分中值定理对运行时,点击按钮“性质7”,可显示性质7.第五章定积分积分学不定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念及性质四、定积分的性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积矩形面积梯形面积设函数y?f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x?a、x?b
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4.1定积分概念 广义积分* 广义积分* 广义积分* 广义积分* 解 原式 解 原式 合理应用对称区间上 奇偶函数的积分性质， 简化定积分的计算。 解 设 ，求 分段函数的积分 计算，应分区间 选取相应的函数 函数在x=1处间断 exit 引例曲边梯形的面积 exit 定积分的定义 exit 定积分的几何意义 exit 估值定理 exit 积分中值定理 牛顿-莱布尼兹公式 返回 若 是奇函数，则 若 是偶函数，则 a -a ◆定积分的几何意义 是偶函数，
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山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 一、定积分问题举例 曲边梯形 设函数y?f(x)在区间[a, b] 上非负、连续. 由直线x?a、x?b、 y?0及曲线y?f (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
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解原式几何意义第30页，讲稿共44页，2023年5月2日，星期三解原式解原式合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。第31页，讲稿共44页，2023年5月2日，星期三关于定积分概念性质第1页，讲稿共44页，2023年5月2日，星期三17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。前言第2页，讲稿共44页，2023年5月2日，星期三4.1定积分概念一、定积分的引入—曲边梯形面积的求法注：此“面积
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下页返回上页下页返回上页一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出柱体(cylindricalbody)体积=底面积×高特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶(curvedvertexsurface).１．曲顶柱体的体积(volume)求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，先看动画演示.刚才大家看到是曲顶柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.曲顶柱体体积的计算步骤是：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积.曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，求对应小曲顶柱体
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*第六章陶宝数学与统计学院微积分学习注意事项*1、课前预习、认真听讲、课后复习、多做作业.2、微积分作业规范：字迹工整，卷面整洁，题目之间空行.3、平时成绩考核:旷课一次扣10分,三次旷课取消考试资格!!!作业一次不交扣10分,三次不交取消考试资格!!!第一节定积分的概念与性质*一、曲边梯形的面积由连续曲线y=f(x)(f(x)?0),直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积*abxyoabxyo显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，*分割1近似2曲边梯形面积的近似值为*曲边梯形面积为01求
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《重积分概念与性质》PPT课件;目录;01;;重积分的性质;根据重积分的定义，对立体区域进行划分，逐一求和得到结果;;重积分的意义;02;;重积分的几何解释;;;利用极坐标系的转换公式进行积分;极坐标表示的应用举例;03;;重积分在工程学中的应用;制定成本优化策略;;总结;04;;重积分的数值积分法;;;05;;重积分的广义形式;区分多元函数与常规函数的积分计算方法;;;06;重积分知识总结;对积分概念的个人理解和体会;;;重积分的网络资源与学习平台;重积分的相关学术期刊与会议;07;;重积分的常见误区;重积分的练习题;重积分的应用案例;重积分的历史演变;08;感谢信;;联系方式与互动环节;;
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第五章 定积分
Chapter 5 Definite Integrals
5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties）
一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral）
设在区间上非负、连续，由，，以及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Let be continuous and nonnegative on the closed interval. Then the region bounded by the graph of, the -axis,
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定积分;微积分学习注意事项 ;一、曲边梯形的面积;a;曲边梯形如图所示，;曲边梯形面积的近似值为;2. 变速直线运动的路程;3) 近似和.;二、定积分的定义;被积函数;说明：;思考题;思考题解答;三、定积分的几何意义;若要求阴影部分的面积, 则为;例1 利用定义计算定积分;推广：;四、定积分的基本性质; 在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小．;说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.;性质4;推论1;推论1;解;性质5（估值定理）;解;;例3 估计定积分值的范围:;由定积分性质3可知;例4. 试证:;性质6（积分中值定理）;积分中值公式的几何解
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目录 上页 下页 返回 结束 第四章 一元积分学 积分学 不定积分 定积分 第一节 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质 定积分的概念及性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 矩形面积 梯形面积 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3) 近似和. 4) 取极
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当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值．二重积分的几何意义01二重积分的两个结论：02二重积分的存在性：则面积元素为故二重积分可写为在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，D二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质１(线性性质)性质2(对区域具有可加性)性质４若为D的面积，性质５(1)非负性则有若在D上有(3)绝对可积性若在D上有则有(2)单调性01性质７02（二重积分估值定理）03（二重积分中值定理）性质６解解解解四、三重积分的定义1二重积分的性质2（和式的极限）3小结4三重积分的定义与性质5二重积分的几何意义（曲