第四章第节换元积分法.ppt

* 基本积分表 ? * * 三、小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(2) * * 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、第一类换元法 * 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理 * 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理1 * 例1 求 解1 解2 解3 * 例2 求 解 一般地 * 例3 求 解 * 例4 求 解 类似地可得 * 例5 求 解 * 例6 求 解 * 例7 求 解 * 例8 求 解 * 例9 求 解 * 例10 求 解 * 例11 求 解 * 例12 求 解 * 例13 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. * 例14 求 解1 （使用了三角函数恒等变形） * 解2 类似地可推出 * 解 例15 设 求 . 令 * 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 二、第二类换元法 * 证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理2 * 第二类积分换元公式 * 例17 求 解 令 * 例18 求 解 令 * 例19 求 解 令 * 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 * 说明(2) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例20 求 令 解 * 事实上,本题用第一类换元法较简单. * 说明(3) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例21 求 解 令 *