结构力学（下）课件：结构动力计算.ppt

3.主振型的正交性第一主振型第二主振型由功的互等定理：整理得：因，则存在：上式表明两个主振型关于质量相互正交，称为第一正交关系。上式分别乘以ω12、ω22，则得：物理意义:第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；结论：某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；即：各个主振型能单独存在，而不相互干扰。设体系具有n个自由度。ωk和ωl为两个不同的自振频率，相应的两个主振型向量分别为：式（a）所示正交关系的一般情形可表述如下：体系的质量矩阵为：则第一个正交关系为：即：如同（a）式一样，式（b）也可利用功的互等定理来证明。112δ1Pδ2P§15.5两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动1.柔度法FPsinθtm1m212（a）FPsinθt12y1Py2P12y11y2112y12y22=++=×FPsinθt=12δ11δ21×=12δ12δ22×上式又可写为：式中Δ1P、Δ2P为荷载幅值在质点1、2产生的静力位移。上式又可写为：在平稳振动阶段的解为：将（a）式代入（15.52b），消去公因子sinθt后，得：（15.52a）（15.52b）（a）（b）由此可解得位移的幅值为：其中：如果荷载频率θ与任一个自振频率ω1、ω2重合，则D0=0,此时当D1、D2不全为零时，则出现共振现象。（15.53）※在求得位移幅值Y1、Y2后，可得各质点的位移和惯性力。位移：惯性力：动荷载：动内力计算方法：FP12Y1Y2（1）把惯性力幅值、动荷载幅值同时加于结构上，然后按静力方法计算。（2）也可按下式求出：式中分别为质点1、2的惯性力幅值。分别为单位惯性力作用时，任一截面的弯矩值。为荷载幅值静力作用下同一截面的弯矩值。因为位移、惯性力、动荷载同时达到幅值，所以动内力也在振幅位置达到幅值。ty低阻尼y-t曲线由上式绘制低阻尼y-t曲线。①阻尼对自振频率的影响.当ξ0.2，则存在0.96ωr/ω1。在工程结构问题中，0.01ξ0.1，可近似取:随而经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:②阻尼对振幅的影响.振幅按等比级数递减。振幅ae-ξωt随时间衰减，相邻两个振幅的比：=常数称为振幅的对数递减率。设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:工程中常用此方法测定阻尼。当则（2)ξ=1（临界阻尼）情况由式式（15.16）的解为：引入，时称为振幅的对数递减率。设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:工程中常用此方法测定阻尼。当则（2)ξ=1（临界阻尼）情况由式式（15.16）的解为：引入，时有：由上式作y-t曲线:tyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。综上所述:当ξ1时，体系在自由反应中是会引起振动的；当阻尼增大到ξ=1时，体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用cr表示。（振动与不振动的分界点）在式（15.15）中，令，有：临界阻尼常数临界阻尼比为：（3)ξ1强阻尼情况：不出现振动，实际问题不常见，不予讨论。例15.5图示一单层建筑物的计算简图。横梁和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，在横梁处加一水平力P，测得侧移y0=0.6cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。振动一周后0.54cm，求结构的阻尼比ξ及振动10周后柱顶的振幅y10。EA=∞my0y0P解：（1）求ξ（2）求振动10周后的振幅y10所以振动10周后的振幅y10为0.21cm。§15.3单自由度体系的受迫振动1.单自由度体系的受迫振动微分方程的建立受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。y(t)my(t)mky(t)mk(a)(b)(c)由此可建立方程：将代入，上式可写成：2.简谐荷载作用下结构的动力反应（1）简谐荷载作用下方程的解上式是二阶常系数齐次微分方程，一部分为齐次解，一部分为特解。齐次解,在上节已求出。设特解为：将上式代入（b）式，有：因此，特解为：荷载幅值F作用下结构所产生的位移。所以，方程的通解为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：结构的振动由两部分构成