数值分析-平方逼近-公开课件（讲义）.ppt

阜师院数科院第六章 函数逼近 W Y W Y 阜师院数科院第六章 函数逼近 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 第六章 函数逼近（最佳平方逼近） 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 第六章目录 §1 最小二乘法原理和多项式拟合 §2 一般最小二乘拟合 2.1线性最小二乘法的一般形式 2.2非线性最小二乘拟合 §3 正交多项式曲线拟合 3.1离散正交多项式 3.2用离散正交多项式作曲线拟合 §4 函数的最佳平方逼近 §5 最佳一致逼近 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* §4 函数的最佳平方逼近 前面对离散数据，我们利用最小二乘法求拟合函数（多项式），本节对一些连续函数，当其表达式较复杂不易于计算和研究时，我们利用最小二乘法，求这些连续函数的近似函数（较简单的函数），称为函数f (x)在[a, b] 上的最佳平方逼函数?(x) 。 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 4.1 基本方法 设f (x)在[a, b]上连续，?i(x)(i=0,1,2,…,m) 在[a, b] 上线性无关，H = Span{?0, ?1,…, ?m}为?k(x)的集合，求?(x)使： 定义6.2 连续情况下的内积定义为：(?(x)为权函数） 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 基本方法（续） 要求出满足（6-10）的?(x)，与离散情况完全 类似，即要求?k(x)满足正规方程组（6-5），当 ?k(x)线性无关?可求出唯一解 是H 中关于权函数? (x)的唯一的最佳平方逼近多项式。 若?k(x)=xk(k=0,1,2,…,m)，此时H为?k(x)所 有线性组合生成的多项式集合，则?(x)称为关于 ? (x)的m次最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多 项式。关于权函数? (x)一般应给定，若没有特别 标明则? (x) ? 1。 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 最佳平方逼近多项式举例 例7 求f (x)=cos?x在[0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式 问题：如何求二次、三次最佳平方逼近多项式，可：（1）如上， H = {1,x,x2}即取?2(x) = x2 （2）或如后面例，按三项推式构造正交多项式 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 4.2 利用正交多项式求最佳平方逼近多项式 从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{?0(x), ?1(x),…, ?m(x),…}满足: 则称此函数为区间[a, b]上关于权函数?(x) 的正交函数系。特别地，若Ak=1(k=0,1,2,…)，则称其为标准正交函数系，当?k(x) 为多项式时，称为正交多项式。 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 正交多项式举例 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 正交函数系性质 正交函数系具有以下性质： 定理6.3 定理6.4 设?k(x)(k=0,1,2,…) 是最高次项系数不为零的k 次多项式，则{?k(x)}是[a, b]上关于权函数?(x)的正交多 项式系的充要条件是对任意至多k－1次的多项式Qk－1(x)，均有： 区间[a,b]上关于权函数?(x)的正交函数系?0, ?1, …, ?n是线性无关的。 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 定理6.4的证明 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 定理6.5 证明类似于定理6.2，略。 构造正交多项式的一般方法由以下定理给出： 定理6.5 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* 几种常用的正交多项式 下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: 具体表达 式为: 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* Legendre多项式性质 （1）{Pk(x)}是区间[－1,1] 上关于权函数?(x)?1的正交 函数系，且 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* Legendre多项式性质（续1） 通过变量变换由Legendre多项式可以得到在任意区间 [a, b] 上关于权函数?(x)?1的正交多项式系。 阜师院数科院第六章 函数逼近 6-* Legen