数值分析与06-函数逼近 .ppt

阜师院数科院 第六章 函数逼近（曲线拟合） 第六章目录 函数逼近（曲线拟合）概述 函数逼近（曲线拟合）概述（续） 函数逼近举例 例1（续） 函数的近似替代，求近似函数称为逼近 §1 最小二乘法原理和多项式拟合 二、多项式拟合 多项式拟合（续） 最小二乘二次拟合多项式举例 §2 一般最小二乘拟合 2.1 线性最小二乘法的一般形式 正规方程组的几种形式 正规方程组的几种形式（续） 正规方程组的几种形式（续） 最小二乘拟合函数定理 定理2（续） 最小二乘法求其拟合函数举例 最小二乘法求其拟合函数举例（续） 2.2 非线性最小二乘拟合 可化为线性拟合问题的常见函数类 非线性拟合举例 非线性拟合举例（续1） 非线性拟合举例（续2） 非线性拟合举例（续3） 非线性拟合举例（续4） §3 正交多项式曲线拟合 正交多项式曲线拟合（续） 3.1 离散正交多项式 对于给定的节点{x1,x2,…,xn}，可以按下列公式（称为三项递推式）构造离散正交多项式系：  {?0(x),?1(x),…,?m(x)} (mn)： 构造离散正交多项式 构造离散正交多项式（续1） 定理6.2证明（续2）——归纳证明 定理6.2证明（续2） 构造离散多项式举例 3.2 用离散正交多项式作曲线拟合 用离散正交多项式作曲线拟合（续） 求给定(xi,yi) 带权?i 的拟合多项式的步骤 拟合多项式举例 拟合多项式举例（续） 第六章 结 束 这样的?k(x)是首项系数为1的k次多项式，下面的定理给出了{?k(x)} 的正交性证明 。 离散正交多项式（续） 定理6.2 按式（6-6），（6-7）构造的多项式系{?0, ?1,…, ?n }是点集{x1,x2,…,xn}上关于?i 的离散正交多项式。 证明: 用数学归纳法证明 当k = 1时，利用式（6-6）中第二式得: 从而证明了?0(x) 与?1(x)的离散正交性; （紧接下屏） 由归纳假设：对 待证： （紧接下屏） 对j = 1,2,…,m-3，有 由归纳法原理，对一切自然数，多项式系{?0, ?1,…, ?m} 满足正交条件，因此是点集{xi}上关于?i的正交多项式系。 证毕！ 因此对k = m成立。 例6 试构造点集{0,1,2,3,4,5}上的离散正交多项式系 {?0(x), ?1(x), ?2(x), ?3(x)} 解：若没有给出?i ，一般认为?i =1，由三项递推式（6-6） ，（6-7）进行构造，计算中，在求出每个?k(x)的同时， 将其在所给节点上的值求出列入表6-1 中，以便求下一个 ?k+1(x)时使用。 x 0 1 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 1 ? -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 ? 10/3 -2/3 -8/3 -8/3 -2/3 10/3 表6-1 设(xi,yi)(i =1,2,…,n) 为给定数据。?i 为对应的权系数 (i=1,2,…,n)，若未给出?i ，则认为?i =1，{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 为点集xi 上的离散正交多项式系，Φ为由其所有线 性组合生成的多项式集合: 　　　　　　Φ = Span{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 使其满足式（6-2），利用多项式{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 的离散正交性易知，此时正规方程组（6-5）的系数矩阵为对角阵： 用离散正交多项式进行最小二乘曲线拟合,亦即求 ： （紧接下屏） 可见，不用解线性方程组， 可减少含入误差，避免病态 情况出现，直接计算可得: 这样可总结利用离散正交多项式求给定(xi,yi) (i=1,2,…,n)带权?i (i=1,2,…,n)的拟合多项式的步骤 （逐步构造?k(x)法）： （紧接下屏） 1. 按三项递推式（6-6）（6-7）构造离散正交多项式系 {?0(x),?1(x),…, ?m(x)}； 2. 按（6-8）计算内积并由此得正规方程的解； 3. 按（6-9）写出拟合多项式?(x)。 利用离散正交多项式求例2所给数据表的二次拟合 多项式 例6 解：按三项递推式及αk , ?k的计算公式可得： 而由系数ak的计算公式有 ： ?i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?xi -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ?yi -0.2209 0.3295 0.8826 1.4