,三数值逼近.ppt

* 第三章 数值逼近 /* Numerical approximation */ 本章主要内容： 1、Lagrange插值方法 2、Newton插值方法 3、Hermite插值方法 4、三次样条插值方法 5、函数逼近:最佳平方逼近和最佳一致逼近 实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题： （1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时， 计算量会很大； （2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需 要的函数值可能不在该表格中。 对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单 的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。 问题背景 §1 插值问题 /* Interpolation Problem */ （插值的定义） 已知定义于区间 上的实值函数 在 个互异节点 处的函数值 ，若函数集合 中的函 数 满足 则称 为 在函数集合 中关于节点 的一个插值函数，并称 为被插值函数,[a,b]为插值区间， 为插值节点，（*）式为插值条件。 设 外插法： 内插法： 用 计算被插值函数 在点 处的近似值 用 计算被插值函数 在点 处的近似值 /* Algebraic Interpolation */ 插值类型 代数插值：集合 为多项式函数集 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) 几何意义： 有理插值：集合 为有理分式函数集 /* Rational */ 三角插值：集合 为三角函数集 /* Trigonometric */ 代数插值的存在唯一性 设 即 代入插值条件： 方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵 方程组存在唯一解，因此满足插值条件(*) 的不超过n次的插值多项式是唯一存在的. 截断误差 插值余项 设 在区间 [a,b]上连续， 在区间 [a,b]上存在, 是满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对 存在 ，满足 其中 。 且当 在区间 [a,b]有上 界 时，有 代数插值的插值余项 /* Remainder */ 注意这里是对 t 求导 证明： 设 结论显然成立 时 构造辅助函数 则 有 个互异零点 、 由罗尔(Roll)定理 在区间（a,b）上至少有n+1个互异零点 在区间（a,b）上至少有n个互异零点 以此类推，反复利用Roll定理 在区间（a,b）上至少有1个零点 而 ? 注：（1）插值误差与节点 和 之间的距离有关； （2） 如果 本身为多项式，其插值函数为本身。 （3）通常不能确定 , 而是估计 , x?(a,b) 将 作为误差估计上限。 §2 代数插值多项式的构造方法 一、 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( = = 求 n 次多项式 使得 条件：无重合节点，即 n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 使得 1 1 1 0 0 1 ) ( , ) ( y x P y x P = = 可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。 ) ( ) ( 0 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x P - - - + = 1 0 1 x x x x - - 0 1 0 x x x x - - = y0 + y1 l0(x) l1(x) ? = = 1 0 ) ( i i i y x l 称为拉氏基函数