南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近-公开课件（讲义）.ppt

§3 Optimal Approximation 例：求 f (x) = ex 在[0, 1]上的近似最佳逼近多项式，使其误差不超过 0.5?10?4。 解：? 根据误差上界确定 n : n = 4 ? 计算 T5(t)的根： ? 以 x0, …, x4 为节点作L4(x) §3 Optimal Approximation ? Chebyshev 多项式的其它应用 —— 多项式降次 /* reduce the degree of polynomial with a minimal loss of accuracy */ 设 f (x) ? Pn(x)。在降低 Pn(x) 次数的同时, 使因此增加的误差尽可能小, 也叫 economiza-tion of power series。 从 Pn中去掉一个含有其最高次项的 , 结果降次为 , 则： Pn ~ Pn?1 | ) ( | max | ) ( ) ( | max | ) ( ) ( | max ] 1 , 1 [ ] 1 , 1 [ 1 ] 1 , 1 [ x P x P x f x P x f n n n - - - - + - ? - ~ 因降次而增的误差 设 Pn 的首项系数为an，则取 可使精度尽可能少损失。 1 2 ) ( ) ( - ? = n n n n x T a x P §3 Optimal Approximation 例： f (x) = ex 在[?1, 1]上的4 阶 Taylor 展开为 ，此时误差 请将其降为2阶多项式。 解： 取 （查表知 ） 取 （查表知 ） 若简单取 ，则误差 另类解法可查p.163表7-2，将x3 和x4 中的T3 和T4 删除。 注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[?1, 1]上的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。 HW: p.164 #3 谢谢！ 第六章 曲线拟合与函数逼近 /* Approximation Theory */ 仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近似函数 P(x) ? f(x)。 但是 ① m 很大； ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi ? f (xi) 这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) ? yi 总体上尽可能小。 常见做法： ? 使 最小 /* minimax problem */ 太复杂? ? 使 最小 不可导，求解困难? ? 使 最小 /* Least-Squares method */ §1 最小二乘拟合多项式 /* L-S approximating polynomials */ 确定多项式 ，对于一组数据(xi, yi) (i = 1, 2, …, n) 使得 达到极小，这里 n m。 n a a a 1 0 ? 实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，即 [ ] ? = - + + + = m i i n i n i n y x a x a a a a a 1 2 1 0 1 0 ... ) , ... , , ( j 在 ? 的极值点应有 k i m i n j i j i j x y x a ? ? = = - = 1 0 ] [ 2 - = ? ? ? = = = + n j m i k i i m i k j i j x y x a 0 1 1 2 记 ? ? = = = = m i k i i k m i k i k x y c x b 1 1 , 法方程组(或正规方程组) /* normal equations */ 回归系数 /* regression coefficients */ §1 L-S Approximating Polynomials 定理 L-S 拟合多项式存在唯一 (n m)。 证明：记法方程组为 Ba = c . 则有 其中 对任意 ，必有 。 若不然，则 存