《第三章函数逼近与曲线拟合》-课件.ppt

二、曲线拟合的步骤： 于是得到关于 的方程组（法方程组或正规方程组） 写成矩阵形式为 法方程组！ 由于?0, ?1, …, ?n线性无关，故Gn ? 0，于是上述方程组 存在唯一解 。 从而肯定了函数f (x)在?中如果存在最佳平方逼近函数， 则必是 2.举例 求 在 中的最佳平方逼近元。 解： 这是 上的最佳平方逼近问题. 取 ,记 因为 且同样可求得 所以，关于 的法方程组为 解得 即 为 中对 的最佳平方逼近元。 3.函数按正交多项式展开 设 为 其中 上带权 的正交多项式系， 给定 若 为 在 上的 次最佳平方逼近多项式， 则由 正交多项式的性质，得 即 注： 以 次Chebyshev多项式的零点作为插值节点的 次 拉格朗日插值多项式 虽不能作为 的 次最佳一 致逼近多项式，但由于误差分布比较均匀，因此可以作为 的 次近似最佳一致逼近多项式。 §3 最佳平方逼近 一、内积空间 1、定义 称二元关系 为内积。 设 为(实)线性空间, 对 中每一对元素 , 在 上定义了内积是指 都有一实数，记为 与之对应， 且这个对应满足: （2） （1） （3） （4） 则称 为内积空间， 2、两种重要的内积空间 ?n维欧氏空间 ，内积就是两向量的数量积，即 ?连续函数空间 ，内积可以定义为积分的运算或带权函数的积分运算，即 或 3、权函数的定义 设? (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质： (1) 对任意x ?[a, b]， ? (x) ≥0； (2) 积分 存在，(n = 0, 1, 2, …)； (3) 对非负的连续函数g (x) 若 则在(a, b)上g (x) ? 0。 称满足上述条件的? (x)为[a, b]上的权函数。 4、Euclid范数及其性质 定义 设 为 的Euclid范数。 则称量 性质 对于任何 下列结论成立： 1、 2、 3、 （Cauchy-Schwarz不等式） (三角不等式) (平行四边形定律) 二、相关概念 1、距离 线性赋范空间中两元素 之间的距离为 连续函数空间 中， 与 的距离即为 因此， 中两点 与 之间的距离即为 也称为2-范数意义下的距离 2、正交 则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权? (x)正交。 若 则称 与 正交。 进一步， 设在[a, b]上给定函数系 ，若满足条件 则称函数系 是[a, b]上带权? (x)的正交函数系。 连续函数空间 中，设 ，若 特别地，当Ak ? 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 若上述定义中的函数系为多项式函数系，则称之为[a, b] 上带权? (x)的正交多项式系。并称 是 上带权 的 次正交多项式。 3、正交化手续 一般来说，当权函数 及区间 给定以后，可以由幂函数系 利用正交化方法构造出正交多项式系。 4、正交多项式的性质 (1) 是最高次项系数为1的 次多项式. (2)任一 次多项式 均可表示为 的线性组合. (3)当 时, 且 与任一次数小于 的多项式正交. (4)递推性 其中 这里 且都在区间 内. (5) 设 是在 上带权 项式序列, 的正交多 则 的 个根都是单重实根, 三、常用的正交多项式 1、第一类切比雪夫多项式 (1)定义 (2)性质 2、Legendre(勒让德)多项式 (1)定义 多项式 称为n 次勒让德多项式。 (2)性质 勒让德多项式序列 是[-1, 1]上带权 的正交多项式序列。即 ?正交性: ?递推关系: 相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式： 当n为偶数时， 为偶函数； 当n为奇数时， 为奇函数。 在区间[-1, 1]内部存在n个互异的实零点。 ?奇偶性： ? ? 的最高次项系数为 ? 在所有首项系数为1的 次多项式中，勒让德 多项式 在 上与零的