19_数值分析5_6最佳平方逼近.ppt

5.6 函数的最佳平方逼近 5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法 一、最佳逼近的意义 设{?0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?}? C[a, b], 它们线性无关. 又给定 f (x)?C[a, b], 求 p*(x)? Hn ? Span{?0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?}, 使得 f (x) ?p*(x) 在某种意义下最小. 二、最佳平方逼近的概念 定义 对于给定的 f (x)?C[a, b],若有 p*(x)?Hn ,使得 ( f ?p*, f ?p*) ?min{( f ?p, f ?p) | p ? Hn}. 则称 p*(x) 是(在子空间Hn中)对 f (x) 的最佳平方逼近函数. 定理5.7 设 f (x)?C[a, b]，p*(x)?Hn , 在 Hn 中, p*(x) 是对 f (x) 最佳平方逼近的函数 ? ( f ?p*, ?j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {?0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?}为子空间 Hn 的一组基. 证: (?) 反证法, 设有函数 ?k?x?, 使得 ( f ?p*, ?k) ? ?k ?0 , 令 q(x) ? p*(x) ? ?k?x? ?k /(?k, ?k), 显然, q(x)?Hn . 利用内积的性质, 可得 (?) 若 ( f ?p*, ?j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)?Hn ,有 定理5.8 设 f (x)?C[a, b], 在子空间 Hn 中, 对 f (x) 最佳平方逼近的函数是唯一的. 证明 假定, 在Hn 中, p(x) 和 q(x) 都是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 由定理5.7的系,知 三、最佳平方逼近函数的求解 利用 ( f ?p*, ?j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设 故 5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用 当 ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?, ? ?是正交系时,求解最佳平方逼近式(5.82)中的系数非常容易. 一、Legendre 多项式的应用 给定函数 f (x)?C[a, b], 求 f (x)的Legendre最佳平方逼近. Legendre 多项式的权函为?(x) ?1, 故内积 遇到区间[a,b], 通过下面的变换把问题转化到[-1,1]上处理. 二、Chebyshev多项式的应用 给定函数 f (x)?C[-1, 1], 求 f (x)的Chebyshev 最佳平方逼近. Chebyshev多项式的内积 数学符号 x0,x1, ?, xm, ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?, ? ? k=0,1, ?, n ? ??x??0 n ?0 a ? x ? b k ? 1, n?m,,, ??? ?? ? ?? ? ? ?????? ??? ??????? ΓΔΘΛΞΦΨΩ ?k ?0 f (x)?C[a, b] (xj,yj),j=0,1,…,m, a ? x0 ? x1 ? ? ? xm ?b ,, ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ??????? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?( f ? p*, f ? p*), , ????????? ????? ????? ?????? ????????? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ ?(x) ?1, , ?L0?x?, L1?x?, ?, Ln?x??, * * 函 数 逼 近 在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常常通过函数表求得，用计算机计算时若把函数表存入内存进行查表，则占用单元太多，不如直接用公式计算方便。因此，我们希望求出便于计算且计算量省的公式近似已知函数 f(x)，例如，泰勒展开式的部分和 就是f(x) 的一种近似公式，用它求x0附近的函数值f(x)，误差较小，当 |x-x0| 较大时，误差就很大。例如 f(x)=ex 在[-1,1]上用： 近似ex，其误差： 于是 误差分布如图： x y -1 1 它在整个区间上误差较大，若在计算机上用这种方法计算ex ，如精度要求较高，则需取很多项，这样即费时又多占存储单元。因此，我们要求在给定精度下计算次数最少的近似公式，这就是函数逼近要解决的问题。 ?定义 近似代替又称为逼