《高等数学典型例题.》.doc

第一章 例1： （ ）. A. {x | x3} B. {x | x-2} C. {x |-2 x ≤1} D. {x | x≤1} ??? 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数 的定义域为（ ）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知 即要有x0、x≠1与 同时成立，从而其定义域为 ，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（ ） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|1时，两函数取得不同的值。 ? B中的函数是相同的。因为 对一切实数x都成立，故应选B。 ? C中的两个函数是不同的。因为 的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 ? D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。 例4：设 解：在 令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数 是（ ）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于 ，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由 ，可得 ，从而有 。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（ ）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 Ｄ．奇偶性不确定 解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。 例 8：函数 的反函数是（ ）。 A． 　　? B． 　 C． 　? D． 解： 于是， 是所给函数的反函数，即应选C。 例 9：下列函数能复合成一个函数的是（ ）。 　A． 　　B． 　C． 　　D． 解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域内，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域 ，也不能复合。只有(C)中 的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。 例 10：函数 可以看成哪些简单函数复合而成： 解： ，三个简单函数复合而成。 第二章 例1：下列数列中，收敛的数列是（ ） A. B. C. D. 解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。 由于 ，故（B）中数列发散。 由于正弦函数是一个周期为 的周期函数，当 时， 并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C）中数列也发散。 由于 ，故（D）中数列收敛。 例2：设 ，则a=( ) A.0 B.1 C.3 D.1/3 解：假设 =0，则所给极限为 ，其分子趋于∞，而分母趋于有限值3，所以极限为∞，不是1/5，因而≠0。 当≠0时，所给极限为 ，故应选C。 一般地，如果有理函数 ，其中 、 分别为n的k次、l次多项式，那么，当 时， 当k=l时，f (n)的极限为 、 的最高次项的系数之比； 当kl时，f (n)的极限为零； 当kl时，f (n)的极限为∞。 对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数 的极限，也有类似的结果。 例3. A. 0 B. 1 C. π D.　n 解 利用重要极限 ? ，故应选C。 注：第一重要极限 的本质是 ，这里的 可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。 类似地，第二重要极限 可以看作是 ，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。 例4. 求 解法 1 解法 2 解法 3 例5. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4 解：由于 ,故应选D。 例6. 解 : 注意 本题属于“∞-∞”型，是