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第二章 导数计算及应用 本章主要知识点 导数定义 复合函数求导,高阶导数,微分 隐函数,参数方程求导 导数应用 一、导数定义 函数在处导数定义为 左导数 右导数 导数 存在有限且 分段点求导必须应用定义。 两个重要变形： 1. 2. 若存在， 例2.1. 若，求 解：＝ 例2.2. 若求 解：＝ 例2.3． 求 解： 所以不存在. 例2.4．，求 解： 所以不存在。 例2.5． 求。 解： 不存在 所以 不存在 例2.6．如果，分析函数在x=0处的连续性。 解： 所以 f(x)在x=0处不连续。 二、复合函数求导、高阶导数、微分 1．复合函数中的层次关系识别 正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。 例2.7． 由外及里分为四层： 例2.8． 分为一层： 例2.9． 分为三层：立方 例2.10． 分为四层： 化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。 2、复合函数的求导原则 我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”： “外及里；号变号；则用则；层间乘”。 例2.11．，求， 解： 例2.12．，求； 解： 例2.13．，求； 解： 例2.14．，求 解： 分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。 例2.15．，求 解： ， 综合得，。 例2.16. ，求 解： ， 所以不存在。 例2.17. 已知， （1）求；（2）研究在处的连续性。 解：（1）， 。 （2） ，不存在， 故在处不连续，且为II类间断。 3. 高阶导数与微分 （1）高阶导数 ， 几个常用公式 （1） （2） （3） （4） （5）莱伯尼兹公式 例2.18. ，求 解： 例2.19. ，求 解： 例2.20．，求 解： 例2.21． ，求 解： 例2.22．，求 解： 例2.23．，求 解： （2）一阶微分 定义：对于函数，如果存在常数，使得： 则称在处可微。 成立：在可导可微，且。 可作为微分求解公式。 例2.24．，求 解： 。 例2.25．，求。 解：， 例2.26．，求 解： ， ， 故，所以。 例2.27．利用微分近似计算。 解：令， 则=。 4、求导中若干特别问题 （1）奇偶函数导数 结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。 例2.28．f（x）为奇函数，。 例2.29． f(x)为可导函数，则的导数为（偶函数）。 （2） （3），在x＝a导数最大阶数等于m+n-1. 例2.30． 导数最大阶数为（1阶）。 （4） 例2.31． 求 解： （5）符号型求导 例2.32. ,求。 解： 三、隐函数、参数方法求导 1．隐函数求导 由方程确定的函数，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。 例2.33．由确定隐函数，求。 解：方程两边对求导得 例2.34．由方程确定隐函数, 求. 解： 方程两边对求导，得： （*） =，（*）式再对求导，得： 例2.35．已知由方程确定，求. 解： 将代入，得到。 方程两端对求导，得， ，。 2．参数方程求导 问题： ,求,. 求导公式： ==，=. 例2.36．已知 求,. 解：===， ===. 例2.37．已知，求，，并给出时的切线法线方程. 解: ==,==， 斜率==，，， 切线方程为。 法线斜率，法线方程为： 例2.38． 已知由确定，求。 解：将方程中分别看成为的函数，分别对求导得 解得： =，= 所以 ==。 四、导数应用 （a）斜率和几何应用 （b）洛必达法则求极限 （c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线 （d）最大值，最小值与实际应用 （e）微分中值定理的应用 （f）证明不等式 1．斜率与几何应用 函数在处导数为切线斜率，即,过点的切线方程为=。法线方程为=。 例2.39．，求过的切线方程。 解：， 切线方程为=。 例2.40．过点引抛物线=的切线，求切线方程。 解：设切点为，因=， ， 切线方程为=， 因为亦在切线上，所以 =，，， 所以，切线方程为 =±。 例2.41．问函数=哪一点 上的切线与直线=成600角？ 解：设切线斜率为，=，=， =，= 解得：=，==，解得：=. 2．洛必达法则 洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。 洛必达法则：若且在的邻域附近可导。如果成立则。 注：①洛必达法则处理的形式必须是未定式。对于,，等必须变形为形式。 ②洛必达法则是一个充分性的法则，若不存在，则说明此方法失效。 ③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。 ④一般而言，洛必达法则和