高等数学习题精讲之3导数与微分.doc
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第3章 导数与微分
§3.1 导 数
1. 导数的概念
(1)设在有定义,若在处当时,的极限存在,则称为在处的导数,记为,,,即
,或
几何意义:表示曲线在点处切线的斜率。
(2)若在内处处可导,则其导数记为,,,即
定义的拓展
(3)单侧导数定义
左导数
右导数
(4)可导的充要条件 ,则
2. 导数的运算法则
(1)设,在处可导,则
; ;
(2)基本求导公式
(3)复合函数求导法:设在处可导,则
一般地,若,则
(4)隐含数求导法(设是方程确定的隐含数)
直接法:方程两边对求导,其中是的复合函数;
微分法:利用微分形式不变性,两边微分后解出;
公式法:
(5)取对数求导法:
特别地,,
(6)反函数求导法:设的反函数为
,,,
(7)参数方程求导法:设,则
,,,
(8)分段函数求导法:一般分段点处要用定义和充分必要条件求导数。
(9)高阶导数:若导函数在处可导,则称为的二阶导数
,记为,,,
类似有
高阶求导公式
莱布尼兹公式:,
§3.2 微 分
1. 微分的概念
(1)设在有定义,若点取时,可表为
其中,是微分系数与无关,是比的高阶无穷小,则称在处可微。称为在处的微分,记为或
(2)几何意义:在点取时,为在点沿切线的纵坐标的改变量;为在点分别沿曲线和切线纵坐标的改变量的差
(3)在处可微的充分必要条件是:在处可导
2. 导数、微分与连续的关系
可导等价于可微,且。可导必连续,连续未必可导,即
可导 可微 连续
3. 一阶微分形式不变形
设,,其复合函数为,则无论对中间变量还是自变量,函数微分形式一致。即
§3.3 典型例题解析
1.利用导数的定义求极限
解题思路 若所求极限能化为的形式,则无论极限过程,只要方框内是相同的无穷小量,所求极限是。
例1 设存在,
解 原式
例2 已知存在,且,求
解 原式
例3 设存在,求
解 原式
例4 已知,,,求
解 ,,故
2.利用导数的定义求导数
解题思路
(1)用定义求复杂函数的定点导数较方便;
(2)抽象函数仅知连续条件求其定点导数时须用定义求解;
(3)判断函数定点的可导性须用定义和可导的充分必要条件求解;
(4)由已知条件和定义求导函数,有时要先求定点的导数或函数值,再求导函数。
例6 设,求
解法1 由于,则
解法2 设,显然在可导,则
例7 设,其中在的邻域内连续,在点可导,且,,求
解
例9 设在上有定义,满足,且,求
解 令,,得,则
3.分段函数、含绝对值函数的求导及其反问题
解题思路
(1)分段函数在分段点的导数须用定义和可导的充分必要条件求解;
(2)函数由参数式或含绝对值给出时,应先求函数的分段表达式,再求解;
(3)由函数连续的三条件及可导的充要条件对各分支列方程,联立求解常数。
例11 ,处处可导,求的导数。
解 当时,
当时,
例13 设,求并讨论的连续性与可导性
解
当时,在处连续,从而在连续;
;
当,时,在处可导,从而在可导
例15 设,若在可导,求的值
解 在可导必连续,则
,
又,则由可导的充要条件得
,
例16 设二阶可导,求
解 由函数连续三条件得
,,
由函数可导的充要条件得
由函数二阶可导的充要条件得
4.复合函数和反函数求导法
解题思路
(1)复合函数的求导:无论函数是几层复合,从最外层开始按基本初等函数逐层求导,即;
(2)若函数由中间变量的形式给出,则需经变量代换求解;
(3)函数是反函数解析式时,可先求反函数的导数,则。
例17 设,求,
解 令,则,,
例18 设,,求
解 设,则,
例19 设在内可导,且,,求在内的表达式。
解 由于,则
由于在连续,且,则
, ,
令,, ;
例21 记,,,求,
解 由反函数求导法得,再由复合函数求导法得
5.隐函数、幂指函数与取对数求导法
解题思路
(1)直接法求隐含数导数注意,是中间变量,含的函数求导后
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