高等数学：导数与微分.doc

导数与微分 在很多实际问题中，需要研究某个变量相对于另一个变量的变化快慢程度，这类问题通常叫变化率问题。例如，变速运动的瞬时速度，非恒定电流的电流强度等，导数的概念就是为解决这些实际问题而建立的。本章首先建立导数的概念，在此基础上推导求导公式和求导法则，从而解决有关变化率的问题。 第一节 导数的概念 一、 导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 ， 若极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为，即 （1） 也可记为，或. 在导数的定义中，若令，则相当于，此时函数增量 相应地导数定义式就具有形式 （2） 注：（1）导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. （2）若极限不存在，就说函数在点处不可导。若不可导的原因是由于时，比值，为方便起见，也往往说函数在点处的导数为无穷大。 若函数在开区间内每一点都可导，就说函数在开区间内可导。这时，函数对于每一个，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了的一个新函数，这个新的函数叫做函数的导函数，记为，，或。 在（1）式中，把换成，即得的导函数的定义式： （3） 注：在（3）式中，虽然可以取开区间内的任何数值，但在极限过程中，是常量，才是变量。 显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即 导函数简称导数，而是在点处的导数或导函数在处的值。 2. 求导数举例 下面根据导数定义求一些基本初等函数的导数，从而得一些导数基本公式。 【例1】求常数函数（为常数）的导数。 解：，即 【例2】求幂函数（）的导数。 解： （当时，） 即 【例3】求指数函数（，）的导数。 解： （当时，） 即，特殊地， 【例4】求对数函数（，）的导数。 解： （当时，） 即，特殊地， 【例5】求正弦函数的导数。 解： 即，用类似方法可求得：（请读者自行推导） 以上各例我们运用导数的定义推导出了常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数的导数公式，它们是计算导数的基本公式，读者应当熟记。 由于函数在一点的导数就是导函数在该点的函数值，所以要计算函数在某点的导数，一般先求出该函数的导函数，然后再求出导函数在该点的函数值即可。 【例6】设，求。 解：因为，故 3. 左、右导数（单侧导数） 根据函数在点处的导数的定义，导数 是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限均存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数（左导数和右导数统称为单侧导数），记作及，即 现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等。 【例7】讨论绝对值函数在点处的连续性与可导性。 解：因为 ，， 即，故该函数在处连续；又 ， 即，所以该函数在处不可导。 如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说函数在闭区间上可导。 4. 利用导数定义式求极限 【例8】设在点处可导，求极限。 解： 二、函数的可导性与连续性的关系 由例7可见，函数在某点连续却不一定在该点可导，即“连续不一定可导”，但反之“可导一定连续”，下面我们来证明此命题。 证明：设函数在点处可导，即存在，所以 即函数在点处连续。 【例9】设在处可导，求，。 解：因在处可导，由可导与连续的关系，在处亦连续，故有 及 成立，而 ， ， 因而有，又 ，故。 三、导数的几何意义 由导数定义知，函数的导数是函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，即 因此，我们先看增量之比在函数图像上的几何意义。 如图，设自变量在点处取得增量，则函数相应的取得增量 在曲线上取两点和，可以看出，就是割线的斜率，即 其中是割线的倾斜角。 图 当越来越小时，点就沿着曲线趋向点，割线就绕着点转动。当时，点就无限趋近于点，割线就无限趋近于它的极限位置（如图），直线就叫做曲线在点的切线。（此处比较恰当的定义了切线。在中学里把“与曲线只有一个交点的直线”作为切