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高等数学导数与微分教案

一、主题/概述

高等数学导数与微分是高等数学中的重要内容，它涉及到函数的局部性质，是研究函数变化率的基本工具。本教案旨在通过讲解导数与微分的概念、性质、计算方法以及应用，帮助学生掌握这一数学工具，为后续学习高等数学打下坚实的基础。

二、主要内容

1.小导数的概念

简短小导数的定义

简短小导数的几何意义

简短小导数的物理意义

2.编号或项目符号

导数的定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，用极限的方法来定义。

导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点的切线斜率。

导数的物理意义：导数表示物体在某一时刻的瞬时速度。

3.详细解释

导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果极限lim（h→0）[f(x0+h)f(x0)]/h存在，则称此极限为函数在点x0的导数，记作f(x0)或dy/dx|x=x0。

导数的几何意义：在函数y=f(x)的图像上，过点(x0,f(x0))作切线，切线的斜率即为函数在点x0的导数。

导数的物理意义：在物理学中，导数表示物体在某一时刻的瞬时速度。例如，物体的位移函数s(t)关于时间t的导数s(t)即为物体在时刻t的瞬时速度。

1.小导数的性质

简短小导数的线性性质

简短小导数的可导性

简短小导数的连续性

2.编号或项目符号

导数的线性性质：若函数u(x)和v(x)在点x的可导，则它们的和、差、积、商（除数不为零）在点x也可导，且导数满足线性性质。

导数的可导性：如果一个函数在某一点的可导，则该函数在该点的导数存在。

导数的连续性：如果一个函数在某一点的可导，则该函数在该点的导数连续。

3.详细解释

导数的线性性质：设函数u(x)和v(x)在点x的可导，则它们的和、差、积、商（除数不为零）在点x也可导，且导数满足线性性质。具体来说，若u(x)和v(x)的导数分别为u(x)和v(x)，则(u(x)+v(x))=u(x)+v(x)，(u(x)v(x))=u(x)v(x)，(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x)，(u(x)/v(x))=(u(x)v(x)u(x)v(x))/(v(x))^2（v(x)≠0）。

导数的可导性：如果一个函数在某一点的可导，则该函数在该点的导数存在。例如，函数f(x)=x^2在点x=0的可导，因为f(0)=lim（h→0）[f(0+h)f(0)]/h=lim（h→0）[h^20]/h=lim（h→0）h=0。

导数的连续性：如果一个函数在某一点的可导，则该函数在该点的导数连续。例如，函数f(x)=x^2在点x=0的导数f(0)=0，且f(x)=2x在点x=0的导数f(0)=0，因此f(x)在点x=0连续。

1.小导数的计算方法

简短小导数的四则运算

简短小导数的复合函数求导

简短小导数的隐函数求导

2.编号或项目符号

导数的四则运算：根据导数的线性性质，可以直接计算函数的四则运算的导数。

导数的复合函数求导：对于复合函数，可以使用链式法则求导。

导数的隐函数求导：对于隐函数，可以使用隐函数求导法求导。

3.详细解释

导数的四则运算：根据导数的线性性质，可以直接计算函数的四则运算的导数。例如，若函数f(x)=x^2+3x2，则f(x)=(x^2)+(3x)(2)=2x+3。

导数的复合函数求导：对于复合函数，可以使用链式法则求导。设函数u(x)和v(x)在点x的可导，则复合函数f(x)=u(v(x))在点x的导数f(x)=u(v(x))v(x)。

导数的隐函数求导：对于隐函数，可以使用隐函数求导法求导。设隐函数F(x,y)=0，则y关于x的导数y可以通过求解方程Fx+Fyy=0得到。

三、摘要或结论

本教案通过讲解导数与微分的概念、性质、计算方法以及应用，使学生掌握了这一数学工具，为后续学习高等数学打下了坚实的基础。

四、问题与反思

①导数的定义中，为什么需要使用极限的方法？

②导数的几何意义和物理意义有什么区别？

③如何判断一个函数在某一点的可导性？

1.《高等数学》高等教育出版社

2.《数学分析》高等教育出版社

3.《数学分析新讲》清华大学出版社