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高等数学导数与微分教案

一、主题/概述

本教案旨在帮助学生深入理解高等数学中的导数与微分概念，掌握导数的定义、性质、计算方法以及微分的应用。通过本节课的学习，学生能够熟练运用导数和微分解决实际问题，为后续学习高等数学打下坚实的基础。

二、主要内容

1.小

1.导数的定义

2.导数的性质

3.导数的计算方法

4.微分的概念

5.微分的计算

6.导数与微分的应用

2.编号或项目符号

1.导数的定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数在该点附近的变化趋势。

2.导数的性质：导数具有连续性、可导性、可微性等性质。

3.导数的计算方法：包括直接求导、复合函数求导、隐函数求导等。

4.微分的概念：微分是导数的线性近似，表示函数在某一点处的变化量。

5.微分的计算：包括直接求微分、复合函数求微分、隐函数求微分等。

6.导数与微分的应用：包括求解函数的极值、拐点、渐近线等。

3.详细解释

1.导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，如果极限lim(x→x0)[f(x)f(x0)]/(xx0)存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，极限值称为函数y=f(x)在点x0的导数，记作f(x0)或dy/dx|x=x0。

2.导数的性质：导数具有连续性、可导性、可微性等性质。连续性指函数在某一点可导，则在该点连续；可导性指函数在某一点可导，则在该点可微；可微性指函数在某一点可微，则在该点可导。

3.导数的计算方法：直接求导是对基本初等函数求导；复合函数求导是对复合函数求导，需要运用链式法则；隐函数求导是对隐函数求导，需要运用隐函数求导法则。

4.微分的概念：微分是导数的线性近似，表示函数在某一点处的变化量。设函数y=f(x)在点x0可导，则函数在点x0的微分记作dy，有dy=f(x0)dx。

5.微分的计算：直接求微分是对基本初等函数求微分；复合函数求微分是对复合函数求微分，需要运用链式法则；隐函数求微分是对隐函数求微分，需要运用隐函数求导法则。

6.导数与微分的应用：求解函数的极值、拐点、渐近线等。

三、摘要或结论

本节课通过讲解导数与微分的概念、性质、计算方法以及应用，使学生掌握了导数与微分的基本知识。通过实际例题的讲解，学生能够熟练运用导数与微分解决实际问题，为后续学习高等数学奠定了基础。

四、问题与反思

①导数的定义中的极限如何理解？

②复合函数求导的链式法则如何运用？

③如何判断函数的极值和拐点？

④微分在工程实际中有何应用？

1.《高等数学》高等教育出版社

2.《数学分析》高等教育出版社

3.《数学手册》高等教育出版社