高等数学上册例题1.doc

第三章 一元函数积分学及其应用 3.1 定积分的概念、性质、可积准则 3.1.3 定积分的几何意义 例1 已知函数在[a,b]上满足，试从定积分的几何意义，比较下述三个数的大小： ，， 解 由题设可知，非负函数在[a,b]上单调减少且向下凸，其图形如图3－3所示。由定积分的几何意义知，是曲边梯形的面积，是矩形的面积，是梯形的面积，故 。 图3－3 3.1.4 可积准则 例2 利用定义计算定积分。 解 因为被积函数在积分区间上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间的分法及点的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间分成等份，分点为；这样，每个小区间的长度；取。于是，得和式 当即时，取上式右端的极限。由定积分的定义，即得所要计算的积分为 由定积分的定义，我们很容易的得出定积分的近似计算公式 3.1.5 定积分的性质 例3 比较与的大小。 解 在区间上有，从而 ，故。 例4 证明：。 证明 设，，则。 令，得 而，即在上，最大值为，最小值为，从而 即 例5 设在[a,b]上连续，，若，证明。 证明 若不恒等于零，则存在，使得，不妨设，则由的连续性知，对，存在，使时，，即，故 与矛盾，故。 例5 设在[0,1]上可微，且满足，证明：存在，使得 证明 令。由积分中值定理，存在，使得 因此。在由罗尔定理知，存在，使，即 3.2 微积分基本定理 3.2.1 牛顿－莱布尼兹公式 例1 计算第一节中的定积分。 解 由牛顿莱布尼茨公式 。 例2 计算。 解 例3 计算。 解 例4 计算正弦曲线在上与轴所围成的平面图形的面积（图3－4）的面积。 解 例5 汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等加速度刹车。问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离。 解 首先算出从开始刹车到停车经过的时间。设开始刹车的时刻为，此时汽车速度 刹车后汽车减速，其速度为 当汽车停住时，速度，故从 解得 于是 即在刹车后，汽车需驶过10m才能停住。 3.2.2 原函数存在定理 例6 设函数 求。 解 例7 计算下列函数的导数 （1） ； （2）； （3）； （4） 解 （1） （2） （3） （4） 例8 求 解 这时一个型不定式，由洛必达法则 注意 ; 例9 设在内连续且，证明函数 在内为单调增加的函数。 证 由积分上限函数的导数，得 当时，，故得，从而在内为单调增加的函数。 3.3 不定积分 3.3.1 不定积分的概念及性质 例1 求. 解 由于,所以是的一个原函数.因此. 例2 . 解 由于,所以. 例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程. 解 设所求曲线方程为,按题设,曲线上任一点处的切线斜率为,即是的一个原函数. 因为 , 故必有某个常数使,即曲线方程为.因所求曲线经过点(1,2),故 2=1+C,C=1. 于是所求曲线方程为 . 3.3.3 基本积分公式 由上面可知积分是导数的逆运算,因此容易从导数公式得到积分公式 ① 是常数) ② ③ , ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ (11) (12) (13) (14) (15) 例4 求. 解 . 3.3.3 积分法则 例5 求. 解 例6 求 解 例7 求. 解 有时被积函数未必是标准形式,这时需要将被积函数变形. 例8 求. 解 . 例9 求. 解 例10 求. 解 2．积分形式不变性（凑分法） 例11 求. 解 令,则,于是 , 再以代入,即得 . 例12 求. 解 被积函数.这里缺少这样一个因子,但由于是个常数,故可改变系数凑出这个因子: , 从而令,便有 . 例13 求. 解 . 例14 求. 解 . 类似可得. 例15 求. 解 . 例16 求. 解 . 例17 求. 解 例18 求. 解 . 例19 求. 解 . 例20 求. 解 例21 求. 解 . 或者 . 由于, 所以上述不定积分,也可以表示为 . 类似可得 对于三角函数表达式,如果包含立方项,分出一个一次方项送进,剩余的平方项使用三角恒等式化简为一次式;如果包含平方项直接使用