《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第七章-2.ppt

* 第七章离散时间系统的时域分析 三、 离散时间系统的描述和模拟 （一）离散系统的数学模型——差分方程 连续时间系统的数学模型——微分方程 微分方程： 一阶 差分方程： 一阶 ——前向形式 ——后向形式 问题: 怎样由离散系统得到描述该系统的差分方程？ 一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内所走过的距离等于前一秒所走过距离的2倍，试列出该质点行程的方程式。 例1 解： 设k秒末，质点的位移为y(k) 某一秒： 第（k+1）秒→第(k+2) 秒 位移 [y(k+2) － y(k+1)] 前一秒： 第 k 秒→第(k+1) 秒 位移 [y(k+1) － y(k)] 依题意： 即 差分方程是处理离散变量的函数关系的一种数学工具，但离散变量并不限于时间变量。 例 2 下图示出电阻梯形网络，其中每一串臂电阻都为R，每一并臂电阻值都为aR，a为某一正实数。每个节点对地的电压为 ， 。已知两边界节点电压为 ， 。试写出求第k个节点电压的差分方程式。 R R R R R E aR aR aR 解： 为了写出此系统的差分方程，画出系统中第k+1个节点。 R R aR 对于任一节点k+1，运用KCL不难写出 再经整理即得该系统的差分方程 再利用 ， 两个边界条件，即可求得 。 差分方程与微分方程在形式上相似！ 比较 与 可看出，若 y(k) 与 y(t) 相当，则 y(k+1) 与 y(t) 相当。在一定条件下可相互转化。 一阶微分方程 考虑离散值（T足够小）: 令t = 0 , T ,2T ,…,kT t → kT ： e(t) → e(kT) = e(k) , y(t) → y(kT) = y(k) , y(t+T) → y[(k+1)T] = y(k+1) 代入（1）式得： 二阶: n阶： 差分方程的阶数：差分方程中未知函数中变量的最高和最低序号的差值。 n阶微分方程： T足够小时可近似为差分方程： (二) 差分方程的算子形式 连续系统的微分算子： 定义： n阶微分方程的算子形式： 离散系统移序算子：S 定义： n阶差分方程的算子形式： ——离散时间系统的转移算子 （三）离散时间系统的模拟 离散时间系统基本运算单元： 延时器、标量乘法器、加法器 延时器： D x(k) y(k) D y(0) x(k) y(k) 初始状态为零 初始状态不为零 1．一阶差分方程的模拟 前向： 框图： D y(k+1) y(k) e(k) - a 与连续时间系统的模拟框图非常相似（延时器代替积分器！） 后向： D y(k) y(k-1) e(k) - a y(k) 2. n阶差分方程的模拟 引进辅助函数q(k)： 即 框图(m=n)： D D D b0 -an-1 -a1 -a0 b1 bn-1 bn e(k) q(k+n) q(k+n-1) q(k+1) q(k) y(k) 如y(k)=e(k+1)+e(k) (n=0,m=1)意味着k时刻的响应依赖于(k+1)时刻的激励 四、离散时间系统的时域分析 离散时间系统的分析方法: 1) 迭代法 : 以初始值为起点y(-1)=0 → y(0) → y(1) → y(2) → … 2) 时域经典法 : y(k)=yh(k)+yp(k) 3) 分别求零输入响应和零状态响应(时域卷积和) : 全响应=零输入响应+零状态响应 4) 变换域解法 : z变换 (一) 迭代法 例 y(k) – a y(k-1) = x(k) , y(-1) = 0 ， x(k) = δ(k) , 求 y(k) 解 : y