《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第六章-2.ppt

* 第六章 连续时间系统的系统函数 四、系统的稳定性 （一）系统的稳定性及其条件 1．定义： 对于有限（有界）激励只能产生有限（有界）响应的系统称为稳定系统，也叫有界输入有界输出（BIBO）稳定系统，即 若激励 则响应函数 2. 条件: 系统稳定的充分和必要条件是：系统的冲激响应绝对可积，即 (M为正常数) 根据稳定条件： （绝对可积） 故在时域 (1) (消失) ， 系统是稳定的 (2) 继续增长 ， 系统是不稳定的 (3) 有限值或等幅振荡 ， 系统为临(边)界稳定 相应地，在复频域： （1） 的全部极点均分布在 s 左半平面——系统稳定 （2） 只要有一个极点分布在 s 右半平面——系统不稳定 （3） 的单阶极点分布在虚轴上——临界稳定 3.稳定系统的性质 即 在无穷大处有一（n-m）阶零点 即 在无穷大处有一（m-n）阶极点 总的来说， 的极点和零点的数目应该相等。对于稳定系统，其在s=0和s=∞处不允许有重阶极点,因此m和n 须满足： 因为s=0和s=∞这两点都是在虚轴上! 对于策动点函数，由于 故稳定系统 稳定系统 表示式中 系数 具有以下性质： （ⅰ） 全为正 （ⅱ） 无缺项（可以 ＝0） 缺 s 的全部奇数项或全部偶数项——临界稳定 例 （1） 不满足（ⅰ） ——不稳定 （2） 不满足（ⅱ） ——不稳定 （3） 满足（ⅰ）、（ⅱ）可能稳定 进一步确定： 在右半平面 系统不稳定 以上两个性质是判断系统稳定的必要条件 (二) 罗斯－霍维茨（Routh-Hurwitz）准则（判据） 内容： 若 则 的根全部位于s左半平面的充要条件是： （ⅰ） 的全部系数 为正，无缺项； （ⅱ）罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( )符号相同 R－H阵列： 第1行 An Bn Cn Dn … 第2行 An-1 Bn-1 Cn-1 Dn-1 … 第3行 An-2 Bn-2 Cn-2 Dn-2 … 第4行 An-3 Bn-3 Cn-3 Dn-3 … 第(n-1)行 A2 B2 0 第n行 A1 0 0 第(n+1)行 A0 0 0 其中An=an , An-1=an-1 , Bn=an-2 , Bn-1=an-3 , Cn=an-4 , … an an -1 an -2 an -3 an -4 an -5 an -6 an -7 … … … … … 例1 R－H阵列： 1 2 3 4 5 3 0 0 0 3 0 0 R－H阵列第一列系数两次变换符号（1→-3→9/2）, 故方程有两个正实部根， 由此可以判定与此特征方程对应的系统不稳定。 例2 R－H阵列： 1 1 2 2 3 0 0 0 0 3 0 0 此行首项为0，用无穷小ε代替 ( ) ε 3 0 0 排完阵列后再令ε→0从而加以判别 2－3/ε 0 0 3 0 当ε→0+(0-)时，2－3/ε为负(正)值， R－H数列变号两次， 即该系统有两个正实部根， 故系统不稳定。 例3 R－H阵列 ： s5 1 s4 1 3 3 2 2 s3 0 0 0 此行元素全部为0，说 明虚轴上可能有极点 处理： 由全“0”的上一行组成辅助多项式：s4+3s2+2 对其求导得4s3+6s 以其系数代替全“0” ( ) 4 6 0 s2 3/2 2 0 s1 2/3 0 s0 2 0 R－H数列无符号变化，说明s右半平面无极点，再来判断虚轴上的极点是否单阶极点。 原理：辅助多项式必为原系统特征多项式的一个因式，令它等于零所求得的根也必是原系统函数的极点，这些极点可能分布于