[2018年最新整理]03线性变换及其矩阵.doc

第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设是数域上的线性空间，是到自身的一个映射，使得对于中的任意元素均存在唯一的与之对应，则称为的一个变换或算子，记为 称为在变换下的象，为的原象。 若变换还满足 称T为线性变换。 [例1] 二维实向量空间，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 [证明] 可见该操作为变换，下面证明其为线性变换 ， 是线性变换。 [例2] 次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间，其基可选为，微分算子是上的一个线性变换。 [证明] 显然对而言是变换， 要证明满足线性变换的条件 ， 是上的线性变换。 2. 性质 线性变换把零元素仍变为零元素 负元素的象为原来元素的象的负元素 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换 （1） （2） （3）元素组线性相关，即存在一组不全为零的数使 则 线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换将所有线性无关的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换。 3. 线性变换的运算 恒等变换： 零变换： 变换的相等：、是的两个线性变换，，均有，则称 线性变换的和：， 线性变换的数乘：， 负变换： 线性变换的乘积：， 逆变换：，若存在线性变换使得，则称为的逆变换 线性变换的多项式： ，并规定 需要说明的是： 1）也称为单位变换； 3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律； 4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，； 5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积、多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。 二、线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设是线性空间的一个线性变换，且是的一个基，，存在唯一的坐标表示 因此，要确定线性变换，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。 对于任意元素，在该基下，变换后的坐标表示为 同时 对比可知： 即： 定义：把称为在基下的矩阵。 定理：设是的一个基，、在该基下的矩阵分别为、。则有 （1） （2） （3） （4） 推论1. 设为纯量t的m次多项式，为线性空间的一个线性变换，且在的基下的矩阵为，则 其中 推论2. 设线性变换在的基下的矩阵为，元素在该基下的坐标为，则在该基下的坐标满足 3.相似矩阵 设在的两个基及的矩阵分别为和，且，则 即和为相似矩阵。 [证明] 即 定理：阶方阵和相似的充要条件是和为同一线性变换在不同基下的矩阵。 [证明] 必要性：已知和相似，即存在可逆矩阵使 选取一个基，定义 考虑可作为基，且 和为同一线性变换在不同基下的矩阵。 充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。 三、线性变换及矩阵的值域和核 定义：设是线性空间的线性变换，称 为的值域； 称为的核。 和均为的子空间。 设为阶矩阵，称 为矩阵的值域； 为的核。 、称为的秩和零度； 、称为的秩和零度。 定理：（1） （2） （3），为的列数。 若是线性变换的矩阵，则 ， 作业：P77－78，1、26、7 8