第二讲 线性变换及其矩阵.pdf

第二讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 1. 定义 设 V 是数域K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若V,均存在唯一 的 V 与之对应，则称T 为 V 的一个变换 （或算子），记为 称 为 在变换 T() .   T 下的象， 为 的原象。   若变换T 还满足, V, k, lK,有T(k l) kT() lT().则称T 为线性变换。  x  例1 （1）二维实向量空间   将其绕原点反方向旋转 角的变换为线性变换。 2 1  R  x ,x R    1 2 x  2   (2) 次数不超过n 的全体实多项式Pn 构成实数域上的一个n+1 维的线性空间，其基可选为 2 n ，微分算子 d 是 上的一个线性变换。 1,x ,x , ,x  D P n dx 2. 性质 （1）T() T(0) 0T() . （2 ）T() (1)T() T(). （3 ）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组。 注：线性无关的元素组经线性变换不一定再是线性无关的。 3. 线性变换的运算 (1) 恒等(单位)变换 ； (2)零变换 ； T T e 0 (3) 变换的相等T T ；(4) 线性变换的和T T 1 2 1 2 (5) 线性变换的数乘 ；负变换； kT (6) 线性变换的乘积T T ；(7) 逆变换T 1 1 2 (8) 线性变换的多项式：Tn T T T ，规定T0 T ； e n个 m m m 若纯量x 的多项式f (x ) a x k ，则f (T ) a T k ，f (T )() a T k () . k  k  k k 0