第四节二与阶线性微分方程 .ppt
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微分方程 一、二阶线性微分方程解的性质 二、二阶常系数线性微分方程 小结 小结 2、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 由定理3知,要求方程(7) (7) 的通解,只需求(7)的一个特解及对应的二阶常系数齐次线性微分方程(8)的通解, (8) 而方程(8)的通解的求法在前面已经用特征方程的方法得到了解决,所以我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法. 求二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法——待定系数法, 待定系数法的基本思想是:根据方程(7)中函数f(x)的形式特点来设出含有未知参数的特解,然后通过将它代入原方程将这些未知参数求出,就得到了原方程的特解. 由于方程的(7)的系数为常数,根据f(x)的形式特点,设想方程(7)有形如 的特解,其中Q(x)为待定的多项式,这种想法是否可行要看是否能求出多项式Q(x) ,求Y(x)的一阶及二阶导数得到. (12) (12) 下面分三种情况讨论 (13) 将(13)式代入(12)式,通过比较等式两边同次幂的系数,可求得 b0, b1, …,bm 的值,从而得到所求的特解为 用与(1)同样的方法可以确定Qm(x)的系数,从而得到所求的特解为 用与(1)同样的方法可以确定Qm(x)的系数,从而得到所求的特解为 例2 解 综上讨论,特解 是单根 不是特征根 是重根 该方程对应的齐次线性方程为 它的特征方程 有两个单根 所以它的通解为 下面来求原方程的一个特解,由于r=0不是特征根,故可设特解为 将它代入原方程,得 比较两边同次幂的系数,得 所以原方程的通解为 例3 解 原方程对应的齐次线性方程的通解为 齐次线性方程的特征方程 有两个单根 由于r=-1是特征方程的单根,故可设特解为 求得A=-1/4.所以原方程的通解为 将它代入原方程 我们可以证明,方程(7)有如下形式的特解 例4 解 原方程对应的齐次线性方程为 它的特征方程为 有两个单根 所以它的通解为 下面来求原方程的一个特解: 故可设特解为 将它代入原方程整理得 比较两边同类项系数 所以原方程的通解为 解得A=-3/10,B=-3/5, 例4 解 不难求得该方程对应的齐次线性方程 的通解为 为了求出原方程的一个特解,我们首先分别求出下面两个方程的特解, (14) (15) 方程(14)有形如Y1=Ax+B的特解,将它代入(14),再比较两边同次幂的系数,得A=1/6, B=1/36,即方程(14)有特解 原方程的特解, 所以原方程的通解为 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 (取虚部) 练习 * * 上一页 下一页 返回 第三节 二阶线性微分方程 本节主要讨论二阶线性微分方程解的性质及二阶常系数线性微分方程的解法,本节的相关结论和方法可以推广到一般的高阶线性微分方程. 一、二阶线性微分方程解的性质 二阶线性微分方程的一般形式为 (1) 方程(1)为 (2) 方程(2)称为二阶齐次线性微分方程. 否则,称(1)为二阶非齐次线性微分方程. 定理2 (3) 也是(2)的解,其中c1,c2为任意常数. 证明 所以 是方程(2)的解. 思考:解y=c1y1+c2y2是二阶齐次线性微分方程(2)的含有两个任意常数的解,它是不是(2)的通解? 它不一定是(2)的通解. 这时 它显然只含有一个任意常数,所以它不是(2)的通解。 问题:在什么情况下y=c1y1+c2y2才是(2)的通解呢? 为了解决这个问题,须引入两个函数线性无关的概念. 例如, 定理2 设y1=y1(x), y2=y2(x)是二阶齐次线性微分方程(2)的两个线性无关的解,则 是(2)的通解. (4) 求二阶齐次线性微分方程的通解的问题可转化为求它的两个线性无关的特解的问题. 例 设二阶齐次线性微分方程 求它的通解. 解:设 有解 不等于常数。 令 则有 分离变量得 两边积分得 取 则有 所以通解为 练习 定理3 设 是二阶非齐次线性 Y(x)是与(1) 是方程(1)的通解. 微分方程(1)的一个特解, 对应的二阶齐次线性微分方程(2)的通解,则 证明 由于 分别是(1),(2)的解,所以 即有 由导数的运算性质得 所以 是方程(1)的解, 所以它就是(1)的通解. 所以 是方程(1)的解, 由于Y(x)是(2)的通解, 其中含有两全独立的 的任意常数, 故y中也有两个独立的任意常数, 所以它就是(1)的通解. 所以 是方程(1)的解, 由于Y(x)是(2)的通解, 其中含有两全独立的 的任意常数
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