四节高阶线性微分方程.pptx

称为二阶齐次线性微分方程.n阶非齐次线性微分方程的一般形式为6.4高阶线性微分方程方程称为二阶非齐次线性微分方程.6.4.1高阶线性方程解的结构方程(2)也称为方程(1)所对应的齐次线性微分方程.

则称这n个函数在区间I上线性相关;线性无关.是定义在区间I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数使得否则,称为当在I上有特别地,否则,线性无关.设

定理6.1(齐次线性方程解的叠加原理)证因(2)也是(2)的解.的两个解,是(2)的通解,是任意常数.则其中特别地,如果线性无关,将代入方程(2)如果函数是方程

当线性无关时,是(2)的通解.则是(2)的解.

定理6.2设是非齐次线性微分方程两个解,的一个解.特别地,(1)的一个特解,Y是(1)对应的齐次方程(2)的通解,通解.是二阶非齐次线性方程则是对应的齐次方程方程则是二阶非齐次线性微分方程(1)的

定理6.3设二阶非齐次线性微分方程的右端是几个函数之和,的特解,如和则就是原方程的特解.

定理6.4设是非齐次线性微分方程的解,其中都是实函数.和的解.

是某二阶非齐次线性微分方程的解,求方程的通解及该方程．例已知故,原方程的通解为对应的齐次方程的通解为解因为线性无关.所以,是对应的齐次方程的解.

由消去得于是,所求微分方程为