高阶线性微分方程的解法.pdf
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4.2 高阶 性微分方程的解法
4.2.1 实变量复值函数 预备知识
4.2.2 常系数 性方程的解法
4.2.3 求变系数齐线性方程特解的幂级数法
4.2.1 实变量复值函数 预备知识
1. 实变量复值指数函数的定义：
a ± b a
e( i )t = e t (cos b t ± i sin b t) ,
可推出
1 b - b 1
i t i t b - b
i t i t
cos b t = (e + e ) , sin b t = (e - e ) .
2 2
2. 实变量复值函数 z (t) = j (t) + iy (t)
极限定义：
lim z (t) = limj (t) + i limy (t) ;
tÆt tÆt tÆt
0 0 0
在 连续，若
连续定义：z (t) t0 注意极限
lim z (t) = z (t ) ; 要存在
0
tÆt
0
导数定义：
dz(t ) z (t) - z (t ) dj (t ) dy (t )
¢ 0 0 0 0
z (t ) = lim = + i ;
0
dt tÆt0 t - t dt dt
0
3. 导数的四则运算：
d dz (t) dz (t)
[z (t) + z (t)] = 1 ＋ 2 ,
1 2
dt dt dt
d dz(t)
[cz(t)] = c ,
dt dt
d dz (t) dz (t)
[z (t) z (t)] = 1 z (t)＋z (t)
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