《2016届高考数学一轮必备考情分析学案：8.8《立体几何中的向量方法》2》.pdf

Go the distance 8.8 立体几何中的向量方法( 二) 考情分析 考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小． 基础知识 1．空间的角 (1)异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b.则把 a ′与b ′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角) ． (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面 所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内， 则它们所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角[来源:学科网ZXXK] 如图在二面角α-l-β 的棱上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α 和β 内分别 作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则∠AOB 叫做二面角的平面角． 2 ．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l ，l 的方向向量分别为m ，m ，则l 与l 的夹角θ满足cos θ＝ 1 2 1 2 1 2 |cos 〈m ，m 〉|. 1 2 (2)设直线l 的方向向量和平面α 的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α 的夹 角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. Go the distance (3)求二面角的大小 ( ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l-β 的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的 → → 大小θ＝〈AB ，CD〉． ( ⅱ)如图②③，n ，n 分别是二面角α-l-β 的两个半平面α，β 的法向量，则二面 1 2 角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n ，n 〉或－cos 〈n ，n 〉． 1 2 1 2 注意事项  π 1.(1)异面直线所成的角的范围是0， ；  2  π (2)直线与平面所成角的范围是0，2 ；   (3)二面角的范围是[0，π]． 2.利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β 的法向量n ，n 1 2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n ， 1 n2 的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 题型一 求异面直线所成的角 【例1】已知ABCD -A B C D 是底面边长为1 的正四棱柱，高AA ＝2 ，求 1 1 1 1 1 (1)异面直线BD 与AB 1 所成角的余弦值； 解 (1)如图建立空间直角坐标系A -xyz ，由已知条件： 1 B(1,0,2)，D(0,1,2)， A (0,0,2)，B (1,0,0) ． 1 → 则BD ＝( －1,1,0)， → AB 1 ＝(1,0，－2) 设异面直线BD 与AB 1 所成角为θ，