《高等数学》电子课件（自编教材）05第八章 第5节 微分法在几何上的应用.ppt

* 第五节 多元函数微分法的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 * 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 * 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. * 解 切线方程 法平面方程 * 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： * 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 * * 所求切线方程为 法平面方程为 * * 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 二、曲面的切平面与法线 * 在光滑曲面? 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面上. 命题: 事实上, 因 两边对 t 求导, * 表明这些切线都在以 的同一平面上 ， 从而切平面存在 . * 曲面 ? 在点 M 的法向量 法线方程 切平面方程 * 解 令 切平面方程 法线方程 * 特殊地：空间曲面方程为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 * 其中 则法向量的方向余弦为 * 解 切平面方程为 法线方程为 * 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 * 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) * 使曲面 与球面 例7. 确定正数 在 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 则有 又点 M 在球面上, 于是有 相切. ∥ * 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法） （求法向量的方向余弦时注意符号） 三、小结 * 练习与思考题 解： 设切点 依题意知切向量为 切点满足曲面和平面方程 * * 例2： 求曲线 在点M（1，2，4）处的切线方程和法平面方程。 解：取 为参数，则 切线方程： 法平面方程： 即 * 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 3、 在曲面 并写出该法线方程 . 提示: 设所求点为 则法线方程为 利用 得 平面 法线垂直于平面 点在曲面上 法线方程为 求曲线， ,在处的切线和法平面方程. 当时， 例2 求曲线，在点处的切线及法平面方程. 解1 直接利用公式; 解2 将所给方程的两边对求导并移项，得 由此得切向量 例4 求曲面在点处的切平面及法线方程. 若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 轴的正向所成的角是锐角， 例5 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程. 例6 求曲面平行于平面的各切平面方程. 1、如果平面与椭球面相切，求.