《高等数学》电子课件（自编教材）03第八章 第3节多元复合函数求导法则.ppt

* 第三节 多元复合函数的求导法则 一. 复合函数求导的链式法则 二. 复合函数的全微分 * 第三节 多元复合函数的求导法则 一元复合函数 求导法则 推广 （1）多元复合函数求导的链式法则 （2）多元复合函数的全微分 微分法则 * 一. 复合函数求导的链式法则 定理 如果函数 都在点 可导,函数 在点 处可微, 在点 则复合函数 证: 设 t 取增量 则相应中间变量有增量 可导, 且有链式法则 * 令 ,则有 ( 全导数公式 ) 时,根式前加“–”号) * 推广: 1）中间变量多于两个的情形。例如 则在它们都可微的条件下 2）中间变量是多元函数的情形。例如 则在它们都可微的条件下 * 又如 当它们 都具有可微条件时，则有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导 表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与 不同 * 例1. 设 求 . 解： * 例2. 求 解: * 例 3. 设 求全导数 解: * 解 令 记 同理有 * 于是 * * * 二. 复合函数的全微分 设函数 的全微分为 这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 . 则复合函数 都可微, * 例 6. 解: 所以 * 内容小结 一. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘 , 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 二. 全微分形式不变性 不论 是自变量还是因变量, * * 1、已知 解: 练习题 * * 证明 2、设 当 时，于是： 证明： 因此 * * 求 设函数 解: 由题设 3、 例4 设，具有二阶 连续偏导数，求和.