高等数学II(电子)9-5-多元函数求导法则.ppt

多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数 高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系 复合关系图 w y v x 依次求导 u 例5 求 设 和 f具有二阶连续偏导数, 设u=x+y+z,v=xyz， z 先四则,后复合 注意符号的含义 小 结 关键: 注意: 搞清复合关系,明确 因变量 中间变量 自变量 对谁求偏导,把谁看成常数 不要漏掉中间变量 高阶偏导数与原来函数有相同的复合关系 第五讲 多元复合函数的求导法则 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数 类型 多元复合函数 类型一 复合关系图 u x s t 类型 多元复合函数 类型二 复合关系图 u x t y 类型 多元复合函数 类型三 复合关系图 u x s y t 类型 多元复合函数 类型四 复合关系图 u x t t y 类型 多元复合函数 类型五 复合关系图 u x y z y x 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数 类型 多元复合函数 类型 多元复合函数 类型三 复合关系图 u x s y t 求导法则 如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点(s,t)具有偏导数,函数u=f(x,y)在对应点(x,y)具有连续偏导数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t))在点(s,t)具有偏导数，且有： 定理 注： 若干项之和， 项数=中间变量个数 每项都是若干因子之积 因变量对中间变量求偏导×中间变量对自变量求偏导 项数=因变量到自变量的路径数 因子数=因变量到自变量的环节数 枝枝依次求导，每枝导数连乘，枝枝依次相加 类型 多元复合函数 类型 多元复合函数 类型一 复合关系图 u x s t 求导法则 例1 设 求 类型 多元复合函数 类型 多元复合函数 类型二 复合关系图 u x t y 求导法则 注： 关于记法 含有一个变量，用d 含有多个变量，用 关于称谓 因变量对自变量求导，称为全导数 因变量对中间变量或中间变量对自变量求导，称为导数 例2 设 求 类型 多元复合函数 类型 多元复合函数 类型四 复合关系图 u x t t y 求导法则 设z=t z 注 表示因变量u对自变量t的导数,x和y应视作t的函数. 表示因变量u对中间变量t的导数,x和y应视作常数. 为突出以上区别,将 改为 相应地,复合关系图也作一定修改 t 例3 求 设 类型 多元复合函数 类型 多元复合函数 类型五 复合关系图 u x y z y x 求导法则 设v(x,y)=x,w(x,y)=y v w 等式左边的 表示因变量u对自变量x的偏导数, z应视作x的函数. 等式右边的 表示因变量u对中间自变量x的偏导数, z应视作常数. 为示区别,将等式右边的 改记作 类似可得 复合关系图可作相应修改. x y 复合关系图也可作相应修改. 例4 求 设 和