高等数学——函数的求导法则.doc

函数的求导法则 本节将要介绍求导数的基本法则以及前一节中尚未讨论过的几个基本初等函数的导数公式。借助这些法则和基本初等函数的导数公式，就能比较方便地求出常见的初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 若函数、在点处均可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点处也可导，且 （1）； （2）， 特别的，若（常数），则有 （3）（）， 特别的， 证明：此处只证明（3），（1）、（2）请读者仿此自行证明。 设（），则 法则（3）得证。 注：（1）上述法则可分别简写为 ；，；， （2）法则（1）（2）均可推广到有限个函数运算的情形。例如，设，，均可导，则有 【例1】设，求及。 解：，。 【例2】设，求。 解： 【例3】设，求。 解： 即 ，这就是正切函数的导数公式。 类似地，可求得余切函数的导数公式： 【例4】设，求 解： 即，这就是正割函数的导数公式。 类似地，可求得余割函数的导数公式： 此外，此处先给出反三角函数的导数公式，以方便使用，公式的推导在本章第五节中进行。 二、复合函数的求导法则 定理2 若函数在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为 或 或 证明略。 注：（1）复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。这一法则又称为“链式法则”。 （2）复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。例如（以两个中间变量为例），设，，，则复合函数的导数为 【例5】设，求。 解：可以看作由和复合而成，因此 【例6】设，求。 解：可以看作由、和复合而成，因此 从以上两例可以看出，应用复合函数的求导法则时，重要的是要分清复合函数的复合层次，在求导过程中始终要明确所求的导数是哪一个变量对哪一个变量（不管是中间变量还是自变量）的导数。在开始时可以先设中间变量，一步一步去做，熟练之后，中间变量可略去不写，只需按复合函数的复合层次，从外向内，逐层求导，不遗漏，也不重复即可。 【例7】设，求。 解： 【例8】设，求。 解：当时，，； 当时，， 综上，有 注：与例8类似，也应有 。 【例9】设，其中可导，求。 解：函数是由和复合而成，故 若不写出中间变量，该题的解题过程如下： 注：请读者注意，与是不同的。 三、导数基本公式和基本求导法则 本节和上一节我们推导了基本初等函数的求导公式，讨论了基本求导法则，这些公式和法则在初等函数的求导运算中起着重要作用，必须熟练地掌握它们。为了便于查阅，下面把这些基本求导公式和法则归纳如下： 1. 导数基本公式 （1）（为常数） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） 2. 函数的四则运算的求导法则 设、均可导，则 （1）； （2）， ； （3）， ，（） 3. 复合函数的求导法则 设，而，且及均可导，则复合函数的导数为 或 初等函数的求导只是对以上公式和法则的综合利用，并没有什么新方法。 【例10】求下列函数的导数： （1） ； （2）； （3） ； （4）。 解：（1） （2） （3） （4） 即，这就是双曲正弦函数的导数公式。 用类似方法，可得双曲余弦函数的导数公式：。双曲正切函数与双曲余切函数的导数公式请读者自行推导。 习题 1．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）。 2．求下列函数的导数： （1）； （2）（为常数）； （3）； （4）。 3．求下列函数的导数： （1）； （2）（为常数）； （3） ； （4）。 4．计算下列函数在指定点处的导数： (1) ，求 ； （2），求。 5．试求曲线在点（0，1）处的切线方程和法线方程。 6．已知，求。