《高等数学》电子课件（自编教材）03第一章 第3节 函数的极限.ppt

* 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 四、小结 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 * 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”? * * 当 几何解释: * * 2.另两种情形: * 例1 证: * 二、自变量趋向有限值时函数的极限 * * * (5).几何意义: * * 例2 证 函数在点x=1处没有定义. * 例3 证 * 三、左右极限: 例如, * 左极限 右极限 * * 例4. 设函数 显然 * * * 四 函数极限的性质 与收敛数列的性质类似，函数极限有相应的一些性质. 定理1（唯一性）如果 存在，则极限唯一. 定理2（局部有界性）如果 那么存在常数 和 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 . 证明 因为 所以不妨取 则存在 当 时，有 所以 记 则当 时，有 * 定理3(保号性) 证 则在对应的邻域 上， * 推论: 问题: 如果函数 ，那么 不一定 如 则 但是 * 定理4 如果 ，那么必存在着存在 ，当 满足不等式 时，有 . 证明 取 则 ， 当 时，有 即 当 时，则有 当 时，则有 从而 思考 结论能否改成 * 定理5 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限 存在，{ }为函数 的定义域内任一收敛于 的数列，且满足： ，那么相应的函数值数列 必收敛，且 . * * 内容小结 1. 函数极限的 或 定义及应用 2. 函数极限的性质: 与左右极限等价定理。 函数极限的唯一性、局部有界性、保号性， 函数极限和数列极限的关系， * 解：由于 1、求证 思考与练习 2. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 及 有 * 3. 若极限 存在, 是否一定有 ？ 不存在 . 不一定 * * 4、 设函数 (1)求 (2)当 为何值时,极限 (1) (2) 由 即 所以当 * 一、自变量趋向无穷大时函数的极限