《高等数学》电子课件（自编教材）02第一章 第2节 数列的极限.ppt

* “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 三、数列的极限 * 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 五、小结 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 一、概念的引入 * 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 * 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” * 二、数列的定义 例如 * 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 * 播放 三、数列的极限 * 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它? 通过上面演示实验的观察: 因为 所以 * * * 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： * * 例1 证 * 说明: 例2. 证明等比数列 的极限为 0 . 证: * 所以 * 四、数列极限的性质 1.有界性 例如, 有界 无界 * 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意(1)数列有界不一定收敛. (2) 无界数列必定发散. * 2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 故收敛数列极限唯一. * 3. 保号性. 定理3 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 问题： * * * * 所以 * 五.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性，唯一性，保号性. * 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 , 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设 由递推式两边取极限得 不对! 此处 练习与思考题 * * 证： 只要 注(1)化简 （必要时适当地放大） (2)用倒推法得到与n 有关的一系列不等式 3、求证 即当 时，恒有 * 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 * 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 如果按照某个法则，可以得到一列有序数： (1) 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).数列(1)记为. 定义: 对数列 , 若存在正数 , 使得一切自 然数 , 恒有成立, 则称数列 有界, 否则, 称为无界.