【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 §4导数的四则运算法则同步测试 北师大版选修1-1.doc

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 §4导数的四则运算法则同步测试 北师大版选修1-1 一、选择题 1．y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝(　　) A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D．1 [答案]　B [解析]　y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1， ∴x0＝，∴y0＝，代入y＝ax2＋1得，＝＋1， ∴a＝，故选B. 2．(2014·山师附中高二期中)设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f ′()＝(　　) A. B．－ C．0 D. [答案]　A [解析]　∵f ′(x)＝cosx＋sinx， ∴f ′()＝cos＋sin＝，故选A. 3．函数y＝的导数是(　　) A．－ B．－sinx C．－ D．－ [答案]　C [解析]　y′＝′＝ ＝. 4．(2014·辽宁六校联考)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f ′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为，则切点的横坐标为(　　) A. B．－ C．ln2 D．－ln2 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝ex－ae－x，由f ′(x)为奇函数，得f ′(x)＝－f ′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex0－e－x0＝，解得x0＝ln2，故选C. 5．(2014·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)(　　) A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e [答案]　C [解析]　∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C. 6．(2014·泸州市一诊)若曲线f(x)＝x－在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 [答案]　A [解析]　∵f ′(x)＝－x－，∴f ′(a)＝－a－， ∴切线方程为y－a－＝－a－ (x－a)．令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，由条件知·a－·3a＝18， ∴a＝64. 二、填空题 7．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________. [答案]　3 [解析]　∵已知切点在切线上，∴f(1)＝＋2＝，又函数在切点处的导数为切线斜率，∴f′(1)＝， ∴f(1)＋f′(1)＝3. 8．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)＝________. [答案]　212 [解析]　f ′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x ＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x， 所以f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8. 因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． [答案]　2x－y＋1＝0 [解析]　∵点(1,3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 三、解答题 10．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图像上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图像在x＝a处的切线平行于直线AB. [答案]　 [解析]　直线AB的斜率kAB＝－1，f ′(x)＝3x2－2x－1， 令f ′(a)＝－1　(0a1)， 即3a2－2a－1＝－1， 解得a＝. 一、选择题 11．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　) A. B．0 C．钝角 D．锐角 [答案]　C [解析]　y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)0，故倾斜角为钝角，选C. 12．曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　对函数y＝x3＋x求导得y′＝x2＋1，将x＝1代入得曲